CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 2– GEOMETRIA 1 2012-2013

Nota: Il numero che compare tra parentesi in alcuni esercizi è il riferimento all’eserciziario della Dottoressa Claretta Carrara disponibile alla pagina web www.science.unitn.it/∼carrara, da cui sono tratti quegli esercizi e le relative note.

Esercizio 2.1 (Esercizio 1.1). Date le matrici

A = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & −1 \end{matrix}) B = (\begin{matrix}3 & 0 \\ −1 & 4 \end{matrix})

e dati λ = 5, μ = 2, calcolare A + B, B − A, λA + μB.

Esercizio 2.2. Scrivere, se possibile, la matrice

D = (\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix})

come combinazione lineare di

A = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})  B = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix})  C = (\begin{matrix}0 & 2 \\ 0 & −1 \end{matrix})

Esercizio 2.3. Scrivere, se possibile, la matrice

D = (\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix})

come combinazione lineare di

A = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix})  B = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})  C = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Esercizio 2.4 (Esercizio 1.15). Date le matrici

A = (\begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}) , C = (\begin{matrix}3 & 6 \\ 1 & 3 \end{matrix})

stabilire se esistono valori di k per cui C è combinazione lineare di A, B. In caso positivo esprimere tale combinazione lineare.

Esercizio 2.5 (Esercizio 1.5). Date le matrici

A = (−2 \frac{1}{2} 3 1) B = (1 −3 \frac{2}{3} 1)

calcolare 3A − 2B e AB^{T}.

Esercizio 2.6 (Esercizio 1.4). Date le matrici

A = (1 2 3 4) I_{4} = (\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

calcolare i prodotti AI_{4} e I_{4}A^{T}.

Esercizio 2.7 (Esercizio 1.2). Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, μ ∈ R, calcolare A + B, B − A, λA + μB, AB, BA, A^{2}:

A = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix})  B = (\begin{matrix}3 & 2 \\ −1 & 4 \end{matrix})  λ = \frac{1}{2}, μ = 0

A = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 3 & −1 & −1 \\ 2 & 0 & −1 \end{matrix})  B = (\begin{matrix}3 & 0 & 2 \\ −1 & 4 & 5 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix})  λ = 2, μ = −1

Esercizio 2.8 (Esercizio 1.3). Date le seguenti matrici:

A_{1} = (\begin{matrix}−1 & 2 & 5 & −3 \\ 3 & −1 & 0 & 2 \\ 4 & 0 & 0 & −2 \end{matrix});  A_{2} = (\begin{matrix}0 & −2 & 5 \\ 4 & −3 & 2 \end{matrix});  A_{3} = (\begin{matrix}5 & 0 \\ −1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 5 & −1 \end{matrix});

A_{4} = (\begin{matrix}3 & 5 \\ −1 & 10 \\ −2 & 0 \end{matrix});  A_{5} = (\begin{matrix}−2 & 4 & 1 \\ −4 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix});  A_{6} = (\begin{matrix}−3 & 1 & −1 \\ −8 & 5 & 3 \end{matrix});

calcolare, quando possibile, i prodotti A_{i} · A_{j} per i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Esercizio 2.9 (Esercizio 1.6). Calcolare la potenza A^{3} della matrice

(\begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix})

Esercizio 2.10 (Esercizio 1.7). Data la matrice

A = (\begin{matrix}1 & 1 \\ −3 & 2 \end{matrix})

calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I). Esercizio 2.11 (Esercizio 1.8). Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I).

A = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 3 & 3 \end{matrix}) A = (\begin{matrix}1 & −1 \\ −3 & 2 \end{matrix})

Esercizio 2.12 (Esercizio 1.9). Date le matrici

A = (\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}) B = (\begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & 3 \end{matrix}) C = (\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix})

calcolare AB, BA, BC e CB. Esercizio 2.13 (Esercizio 1.10). Si consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori di M_{2×2}(R))

I = \{(\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}) | a, b, c ∈ R\}

Si verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I. Esercizio 2.14 (Esercizio 1.11). Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A, B non nulle tali che AB = 0. Esercizio 2.15 (Esercizio 1.12). Sia

A = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})

e B una matrice tale che AB = BA. Si dimostri che

B = λI_{2} + (\begin{matrix}0 & x \\ 0 & 0 \end{matrix})

dove λ, x ∈ R. Esercizio 2.16 (Esercizio 1.18). Si risolva il sistema Ax = b dove

A = (\begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix}) ,  x = (\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix})  b = (\begin{matrix}2 \\ −2 \end{matrix})

Esercizio 2.17 (Esercizio 1.19). Siano A e B matrici 3 × 3 tali che

AB = BA ∀B ∈ M_{3×3}

Si dimostri che deve necessariamente essere:

A = λI_{3} per qualche λ ∈ R