CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 1– GEOMETRIA 1 – 2012-2013

Nota: Il numero che compare tra parentesi in alcuni esercizi è il riferimento all’eserciziario della Dottoressa Claretta Carrara disponibile alla pagina web www.science.unitn.it/∼carrara, da cui sono tratti quegli esercizi.

Esercizio 1.1. Risolvere graficamente e algebricamente i seguenti sistemi di due equazioni in due incognite:

\begin{cases}2x + y = 4 \\ x + 3y = −3 \end{cases}  \begin{cases}x − 2y = 6 \\ −3x + 6y = 5 \end{cases}

Esercizio 1.2. Risolvere il seguente sistema non omogeneo:

\begin{cases}2x + y + z = 1 \\ 3y − z = 0 \\ 2z = 4 \end{cases}

Esercizio 1.3. Risolvere il seguente sistema non omogeneo:

\begin{cases}3x + y − 5z = −15 \\ 2y − 6z = 1 \\ y − 3z = 5 \end{cases}

Esercizio 1.4 (Esercizio 4.1). Risolvere il seguente sistema non omogeneo:

\begin{cases}2x + 4y + 4z = 4 \\ x − z = 1 \\ −x + 3y + 4z = 2 \end{cases}

Esercizio 1.5 (Esercizio 4.2). Risolvere il seguente sistema omogeneo:

\begin{cases}x + 2y + w = 0 \\ 2x + 5y + 4z + 4w = 0 \\ 3x + 5y − 6z + 4w = 0. \end{cases}

Esercizio 1.6 (Esercizio 4.3). Si consideri il sistema di equazioni lineari:

\begin{cases}kx + ky + k^{2}z & = 4 \\ x + y + kz & = k \\ x + 2y + 3z & = 2k \end{cases}

a) Si dica per quali valori del parametro reale k il sistema è compatibile.

b) Esistono valori di k per i quali il sistema ha infinite soluzioni? In tali casi determinare le soluzioni.

Esercizio 1.7 (Esercizio 4.4). Risolvere il seguente sistema, al variare del parametro reale k:

\begin{cases}x + 2w = 1 \\ x + y + 3z + 2w = 1 \\ 2x + y + (k + 2)z + 4w = 2 \\ x + y + 3z + (k^{2} − k + 2)w = k \end{cases}

Scrivere le soluzioni anche in forma vettoriale.

Esercizio 1.8 (Esercizio 4.6). Determinare per quali valori del parametro reale t il sistema Ax = b è compatibile (cioè ammette soluzione). In tali casi determinare esplicitamente le soluzioni.

A = (\begin{matrix}−1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 2t + 1 \end{matrix})  b = (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix})

Esercizio 1.9 (Esercizio 4.7). Si dica per quali valori di k il sistema di equazioni lineari: x + y = 1 kx + y + z = 1 − k (k parametro reale) y + (1 − k)z = 1

ammette un’unica soluzione. In tale caso trovare la soluzione.