CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 8– GEOMETRIA 1

Nota: Data la numerosità degli esercizi tratti dall’Eserciziario di Claretta Carrara presenti in questo foglio, rimandiamo all’Eserciziario stesso per le soluzioni di quelli attraverso il numero di riferimento tra parentesi. Presentiamo la correzione degli altri.

Esercizio 8.1 (Esercizio 6.1). Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A = (\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & −2 \end{matrix}) B = (\begin{matrix}−11 & 3 \\ 2 & 0 \end{matrix})

C = (\begin{matrix}2 & 3 & −2 \\ 1 & −2 & 0 \\ 0 & −1 & 2 \end{matrix})  D = (\begin{matrix}2 & −2 & −2 \\ 1 & 1 & 0 \\ −3 & 4 & 0 \end{matrix})  F = (\begin{matrix}7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ −3 & 4 & −3 \end{matrix})

Esercizio 8.2 (Esercizio 6.2). Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A_{1} = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix})  A_{2} = (\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})  A_{3} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})

A_{4} = (\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix})  A_{5} = (\begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix})  A_{6} = (\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix})

Esercizio 8.3. Dimostrare che il determinante di una matrice reale o complessa antisimmetrica di ordine dispari è nullo.

Soluzione: Una matrice A è antisimmetrica se A = −A^{T}. Per le proprietá del determinante si ha det(A) = det(A^{T}) e det(−A) = (−1)^{n}det(A). Quindi essendo A antisimmetrica det(A) = −det(A) essendo n dispari, e l’uguaglianza implica che det(A) = 0. ■

Esercizio 8.4 (Esercizio 6.3). Calcolare il rango della seguente matrice A.

A = (\begin{matrix}1 & k + 2 & 0 \\ k^{2} − 1 & 0 & 4 − k \\ 1 & 2k − 3 & 0 \end{matrix}) k ∈ ℝ

Esercizio 8.5 (Esercizio 6.5). Dopo avere stabilito se le seguenti matrici sono invertibili calcolarne l’inversa:

A_{1} = (\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix})  A_{2} = (\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})  A_{3} = (\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})

A_{4} = (\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix})  A_{5} = (\begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix})  A_{6} = (\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix})

Esercizio 8.6. Sia A la matrice reale

A = (\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix})

a) Calcolare il determinante di A e stabilire per quali valori di k la matrice è invertibile.

b) Trovare la matrice inversa di A per k = 1.

Esercizio 8.7. Sia A la matrice reale

A = (\begin{matrix}k & k − 1 & k \\ 0 & 2k − 2 & 0 \\ 1 & k − 1 & 2 − k \end{matrix}) (k reale).

a) Si determini per quali valori di k la matrice A è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k = −1.

b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

Esercizio 8.8. Sia A_{t} la matrice reale

A_{t} = (\begin{matrix}0 & t & 0 \\ 1 & 1 & t \\ 2 & t & 1 \end{matrix}) (t reale).

Stabilire per quali valori di t la matrice A_{t} è invertibile.

Esercizio 8.9. Sia A la matrice reale

A = (\begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 3k & 8 + 2k & k − 1 \\ 0 & 8k + 8 & 0 \end{matrix}) (t reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile?

Esercizio 8.10 (Esercizio 6.9). Sia A la matrice reale

A = (\begin{matrix}2 & 0 & 5 \\ −4k & 4k − 1 & k − 2 \\ 0 & 1 − 4k & 0 \end{matrix}) (t reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile?

Esercizio 8.11 (Esercizio 6.11). Sia A la matrice reale

A = (\begin{matrix}1 & k & 0 \\ 0 & 1 & k − 4 \\ 2 & k & 0 \end{matrix}) (k reale).

a) Stabilire per quali valori di k la matrice A è invertibile.

b) Per i valori di k trovati al punto precedente determinare l’inversa di A.

Esercizio 8.12 (Esercizio 6.12). Sia A la matrice reale

A = (\begin{matrix}2 & 2 & k \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3k \end{matrix}) (k reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Si determini il valore di k tale per cui la matrice A abbia determinante uguale a uno. Per tale valore di k, si calcoli la matrice inversa di A.

Esercizio 8.13 (Esercizio 7.22). Siano dati i seguenti vettori di ℝ^{3}:

v_{1} = (2, 1, 1),  v_{2} = (−1, 1, 2),  v_{3} = (3, −2, −1),  v_{4} = (4, −1, −2).

Stabilire se v_{4} è combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3}.

Esercizio 8.14 (Esercizio 7.23). Siano dati i seguenti vettori di ℝ^{3}:

v_{1} = (1, 1, 1),  v_{2} = (2, 7, 7),  v_{3} = (0, k^{2} + 2, 3),  v_{4} = (1, k + 3, k^{2} + 2).

Stabilire se v_{4} è combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3} al variare del parametro k.

Esercizio 8.15 (Esercizio 7.24). Determinare per quali valori del parametro reale k i seguenti vettori formano una base di ℝ^{3}.

v_{1} = (1, 2, −2),  v_{2} = (1, 1, −3),  v_{3} = (3, 7, k − 6)

Esercizio 8.16 (Esercizio 7.26).

a) Mostrare che i vettori

v_{1} = (0, 1, 1), v_{2} = (−1, k, 0), v_{3} = (1, 1, k)

sono linearmente indipendenti per ogni valore di k ∈ ℝ.

b) Esprimere il vettore v = (2, 1, 2) come combinazione lineare di v_{1}, v_{2}, v_{3}.

Esercizio 8.17 (Esercizio 7.26). In ℝ^{3} siano

v_{1} = (k, 2, 1), v_{2} = (−2, 1, 0), v_{3} = (0, 1, 1), (k parametro reale) a) Si stabilisca per quali valori di k i tre vettori costituiscono una base di ℝ^{3}.

b) Per i valori trovati al punto a), si calcolino le coordinate del vettore v = (−2, 1, 2) rispetto a tale base.

Esercizio 8.18 (Esercizio 7.27). Si consideri il sottospazio V = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩ di ℝ^{5} generato dai vettori

v_{1} = (−1, 1, 2, 1, 0), v_{2} = (0, 2, 1, 1, 0), v_{3} = (1, 1, −1, 0, 0).

a) Trovare una base di V.

b) Determinare le coordinate del vettore v = (−2, 6, 6, 4, 0) ∈ V rispetto alla base trovata al punto a).

Esercizio 8.19 (Esercizio 7.28). Sia V il sottospazio di ℝ^{3} generato dai vettori:

v_{1} = (2, 1, 1),  v_{2} = (−1, 1, 2),  v_{3} = (3, −2, −1),  v_{4} = (4, −1, −2).

Determinare una base di V. Esprimere inoltre v_{1}, v_{2}, v_{3} e v_{4} come combinazione lineare degli elementi di tale base.

Esercizio 8.20 (Esercizio 7.29). Sia V il sottospazio di ℝ^{4} generato dai vettori:

v_{1} = (2, 1, 2, 1),  v_{2} = (6, 7, 8, 5)
v_{3} = (2k, k + 8, 3k + 3, 2),  v_{4} = (0, 2k, 2k, 1).

Determinare una base di V al variare del parametro k. Esprimere inoltre v_{1}, v_{2}, v_{3} e v_{4} come combinazione lineare degli elementi di tale base.

Esercizio 8.21 (Esercizio 7.30). Sia V il sottospazio di ℝ^{4} generato dai vettori:

v_{1} = (0, k − 1, k^{2} − 1, 3k − 2),  v_{2} = (1, 3, 0, 3),  v_{3} = (−1, −2, 1, −1).

Determinare la dimensione e una base di V al variare del parametro reale k.

Esercizio 8.22 (Esercizio 7.31). Sia W il sottospazio di ℝ^{4} generato dai vettori {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}:

v_{1} = (−1, 1, −1, 1),  v_{2} = (1, k, 3, 4),  v_{3} = (1, −1, k, 1),  v_{4} = (0, 0, 1, k)

Si calcoli la dimensione di W al variare di k ∈ ℝ.

Esercizio 8.23 (Esercizio 7.32). Si considerino i vettori di ℝ^{4}

v_{1} = (3, −1, 2, 0), v_{2} = (−6, 2, −4, 0), v_{3} = (−3, k, k − 3, 0)

a) Si stabilisca per quali valori di k il vettore v_{3} appartiene al sottospazio W = ⟨v_{1}, v_{2}⟩ generato da v_{1} e v_{2}.

b) Si trovi, al variare di k, una base di W e una base del sottospazio ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩.

Esercizio 8.24 (Esercizio 7.33). Si considerino i vettori di ℝ^{4}

v_{1} = (1, 2, −1, 3), v_{2} = (−2, −4, 2, −6), v_{3} = (3, 6, k − 6, 3k)

a) Si stabilisca per quali valori di k il vettore v_{3} appartiene al sottospazio W = ⟨v_{1}, v_{2}⟩ generato da v_{1} e v_{2}.

b) Si trovi, al variare di k, una base di W e una base del sottospazio ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩.

Esercizio 8.25 (Esercizio 7.34). Sia V = ⟨ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} ⟩ con

v_{1} = (3, 7, k + 1, 2k + 2), v_{2} = (2, 2k + 2, 0, 0), v_{3} = (1, 1, 0, 0), v_{4} = (−3, −7, −1, 2k)

a) Si determini la dimensione di V al variare di k ∈ ℝ.

b) Si determini una base di V al variare di k ∈ ℝ.

Esercizio 8.26 (Esercizio 7.35). Determinare una base dei seguenti sottospazi W di ℝ^{3}:

(1) W = ⟨(1, 2, 5), (−3, −6, −15)⟩

(2) W = ⟨(1, 2, 5), (−3, −6, −15), (2, 1, 0)⟩
(3) W = ⟨(−1, 2, 0), (0, 1, −1), (1, −1, 2)⟩

Esercizio 8.27 (Esercizio 7.36). Sia V = ⟨ v_{1}, v_{2}, v_{3} ⟩ con

v_{1} = (k + 3, k + 3, 0),  v_{2} = (0, 3, k + 2),  v_{3} = (0, 3k, k)

a) Si stabilisca per quali valori di k ∈ ℝ lo spazio V coincide con ℝ^{3}.

b) Si determini la dimensione una base di V al variare di k ∈ ℝ.

Esercizio 8.28 (Esercizio 7.37). Sia V lo spazio vettoriale generato dai vettori v_{1} = (1, −2, 4, 0), v_{2} = (2, 3, −1, 1) e v_{3} = (0, −1, 3, 0):

V = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩

(1) Determinare la dimensione dello spazio vettoriale V.

(2) Determinare se il vettore v_{4} = (3, 1, 3, 1) appartiene a V. In caso positivo esprimere v_{4} come combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3}.

(3) Determinare la dimensione dello spazio vettoriale W = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}⟩.

Esercizio 8.29 (Esercizio 7.45). Si considerino i vettori di ℝ^{3}: v_{1} = (1, 2, 1), v_{2} = (1, 1, −1), v_{3} = (1, 1, 3), w_{1} = (2, 3, −1), w_{2} = (1, 2, 2), w_{3} = (1, 1, −3).

a) Si calcoli la dimensione dei sottospazi V = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩, W = ⟨w_{1}, w_{2}, w_{3}⟩.

b) Si trovi una base del sottospazio intersezione V ∩ W.

Esercizio 8.30 (Esercizio 7.46). Si considerino i seguenti sottospazi di ℝ^{3}:

U = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x − 2y + z = 0}
V = ⟨(1, 0, 1), (1, 2, 1), (1, 0, 1)⟩

a) Determinare una base e la dimensione di U e di V.

b) Determinare una base e la dimensione di U ∩ V.

b) Determinare una base e la dimensione di U + V.

Esercizio 8.31 (Esercizio 7.47). Si considerino i seguenti sottospazi di ℝ^{4}:

U = {(0, 1, 1, 0)a + (0, 0, 0, 1)b | a, b ∈ ℝ}
V = {(x, y, z, w) ∈ ℝ^{4} | x + y = 0, z = 2x}

a) Determinare una base e la dimensione di U e di V.

b) Determinare una base e la dimensione di U ∩ V.

c) Determinare una base e la dimensione di U + V.

Esercizio 8.32 (Esercizio 7.49). Siano U e V i sottospazi di ℝ^{3} così definiti

U = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + z = 0}
V = ⟨(1, −1, 0), (1, 1, −1)⟩

a) Determinare la dimensione e una base dei due sottospazi U e V.

b) Determinare la dimensione e una base dei due sottospazi U + V e U ∩ V.

Esercizio 8.33 (Esercizio 7.50). Siano U e V i sottospazi di ℝ^{3} così definiti

U = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + z = 0}
V = ⟨(2, −1, −2), (−3, 4, 3)⟩

Dimostrare che U = V.

Esercizio 8.34 (Esercizio 7.51). Si consideri il sottoinsieme S di ℝ^{4} costituito dai vettori v della forma

v = (a_{1}, a_{1} − a_{2} + 2a_{3}, 2a_{1} − a_{2}, a_{1} + 3a_{2} + a_{4})

dove a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4} sono parametri reali.

a) S è un sottospazio vettoriale di ℝ^{4}?

b) In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.

Esercizio 8.35 (Esercizio 7.52). Si consideri il sottoinsieme S di ℝ^{4} costituito dai vettori v della forma

v = (a_{1} − a_{2} + 2a_{3}, a_{1}, 2a_{1} − a_{2}, a_{1} + 3a_{2} + a_{4})

dove a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4} sono parametri reali.

a) S è un sottospazio vettoriale di ℝ^{4}?

b) In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.

Esercizio 8.36 (Esercizio 7.53). Si consideri il sottoinsieme S di ℝ^{4} costituito dai vettori v della forma

v = (a_{1} − a_{2} + 2a_{3} + a_{4}, a_{1}, 2a_{1} − a_{2}, a_{1} + 3a_{2})

dove a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4} sono parametri reali.

a) S è un sottospazio vettoriale di ℝ^{4}?

b) In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.

Esercizio 8.37 (Esercizio 7.78). Nello spazio vettoriale V = ℝ_{2}[x] dei polinomi reali di grado non superiore a due, si considerino gli elementi

p_{1} = x − 1, p_{2} = x + 1, p_{3} = x^{2} − x.

a) Si mostri che l’insieme B = (p_{1}, p_{2}, p_{3}) è una base di V.

b) Si trovino le coordinate del polinomio costante 1 nella base B.

Esercizio 8.38. Studiare al variare del parametro α il sistema lineare seguente:

\{ \begin{matrix}x + y + z = α \\ αx + y + 2z = 1 \\ x + αy + 3z = 1 \end{matrix}

usando i metodi di Rouché -Capelli e di Cramer.

Soluzione: Per applicare il teorema di Rouché -Capelli calcoliamo il rango di

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ α & 1 & 2 \\ 1 & α & 3 \end{matrix} )

Applicando due trasformazioni elementari sulle righe (sottraendo la prima riga alla seconda e alla terza) otteniamo

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ α − 1 & 0 & 1 \\ 0 & α − 1 & 2 \end{matrix} )

Se α = 1 la seconda e la terza riga della matrice sopra sono linearmente dipendenti mentre la prima e la seconda sono linearmente indipendenti, quindi rk(A) = 2.

Se α ≠ 1, è possibile dividere per (α − 1):

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & \frac{1}{(α−1)} \\ 0 & 1 & \frac{2}{(α−1)} \end{matrix} )

La prima riga della matrice sopra risulta essere combinazione lineare delle altre due se e solo se

\frac{1}{α − 1} + \frac{2}{α − 1} = 1,

ovvere se e solo se α = 4. Riassumendo: rk(A) = 2 per α = 1, 4 e rk(A) = 3 altrimenti.

Ora, è necessario calcolare il rango della matrice orlata con la colonna dei coefficienti noti:

(A|b) = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & α \\ α & 1 & 2 & 1 \\ 1 & α & 3 & 1 \end{matrix} )

analogamente a prima, basta sottrarre la prima riga alla seconda e alla terza per palesare il rango di (A|b):

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 & α \\ α − 1 & 0 & 1 & 1 − α \\ 0 & α − 1 & 2 & 1 − α \end{matrix} )

Se α = 1 si ha che rk(A|b) = 2 mentre per ogni α ≠ 1 si ha che rk(A|b) = 3. Si distinguono i tre casi:

i) se α = 1 allora rk(A) = rk(A|b): il sistema ha almeno una soluzione; ii) se α = 4 allora rk(A) ≠ rk(A|b): il sistema è incompatibile; iii) se α ≠ 1, 4 allora rk(A) = rk(A|b): il sistema ha almeno una soluzione.

Consideriamo il caso α = 1, utilizzando la matrice ridotta:

( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

riscriviamo il sistema equivalente a quello di partenza:

\{ \begin{matrix}x + y = 1 \\ z = 0 \end{matrix}

il sistema ammette quindi infinite soluzioni:

\{ \begin{matrix}x = 1 − t \\ y = t ∈ ℝ \\ z = 0 \end{matrix}

Poichè nel caso α ≠ 1, 4 la matrice A ha rango massimo, abbiamo che det(A) ≠ 0, quindi passiamo direttamente al metodo di Cramer.

Procediamo al calcolo del determinante di

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ α & 1 & 2 \\ 1 & α & 3 \end{matrix} )

det(A) = α^{2} − 5α + 4 = (α − 4)(α − 1)

Il determinante è non nullo solo per α ≠ 1, 4 a riconferma di quanto detto in precedenza. Indichiamo con A_{1}, A_{2}, A_{3} le matrici ottenute da A sostituendo rispettivamente la prima, la seconda e la terza colonna con la colonna dei termini noti del sistema.

A_{1} = ( \begin{matrix}α & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & α & 3 \end{matrix} ) A_{2} = ( \begin{matrix}1 & α & 1 \\ α & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{matrix} ) A_{3} = ( \begin{matrix}1 & 1 & α \\ α & 1 & 1 \\ 1 & α & 1 \end{matrix} )

I determinanti sono det(A_{1}) = −2(α − 1)^{2}, det(A_{2}) = −3α(α − 1), (α − 1)^{2}(α + 2). La soluzione del sistema è data da

x = \frac{det(A_{1})}{det(A)} = −2\frac{α − 1}{α − 4}

y = \frac{det(A_{2})}{det(A)} = −\frac{3α}{α − 4}

z = \frac{det(A_{3})}{det(A)} = \frac{(α − 1)(α + 2)}{α − 4}

per α ≠ 1, 4.

■

Esercizio 8.39. Risolvere il seguente sistema utilizzando il metodo di Cramer:

\{ \begin{matrix}2x + 3y − z = 1 \\ x + 4y + 2z = 2 \\ 3x − y − z = 3 \end{matrix}

Soluzione: Detta A la matrice associata al sistema:

det(A) = det ( \begin{matrix}2 & 3 & −1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & −1 & −1 \end{matrix} ) = 30

dunque possiamo applicare la regola di Cramer. Calcoliamo i determinanti delle tre matrici ottenute dalla sostituzione delle colonne:

A_{1} = ( \begin{matrix}1 & 3 & −1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & −1 & −1 \end{matrix} ) A_{2} = ( \begin{matrix}2 & 1 & −1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & −1 \end{matrix} ) A_{3} = ( \begin{matrix}2 & 3 & −1 \\ 1 & 4 & 2 \\ 3 & −1 & 3 \end{matrix} )

che sono det(A_{1}) = 36, det(A_{2}) = −6, det(A_{3}) = 24. Le soluzioni sono quindi date da:

x = \frac{det(A_{1})}{det(A)} = \frac{6}{5}

y = \frac{det(A_{2})}{det(A)} = −\frac{1}{5}

z = \frac{det(A_{3})}{det(A)} = \frac{4}{5}

■

Esercizio 8.40 (Abate 9.10). Risolvere il seguente sistema utilizzando il metodo di Cramer:

\{ \begin{matrix}x − y + 2z = 2 \\ −x + 2y + z = 7 \\ 2x + y + 2z = 2 \end{matrix}

Soluzione: Esempio completamente svolto di Abate ■

Esercizio 8.41. Risolvere il seguente sistema utilizzando il metodo di Cramer:

\{ \begin{matrix}2ix + z = −1 \\ ix + iz = i \\ x + y + z = 2 \end{matrix}

Soluzione: Il sistema in forma matriciale ha forma:

( \begin{matrix}2i & 0 & 1 \\ i & 0 & i \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 \\ i \\ 2 \end{matrix} )

Il determinante della matrice associata A è det(A) = 2 + 1 ≠ 0. Attuando la sostituzione delle colonne secondo la procedura di Cramer:

A_{1} = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ i & 0 & i \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix} ) A_{2} = ( \begin{matrix}2i & −1 & 1 \\ i & i & i \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix} ) A_{3} = ( \begin{matrix}2i & 0 & −1 \\ i & 0 & i \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} )

i cui determinanti risultano essere: det(A_{1}) = 2i, det(A_{2}) = 2+i, det(A_{3}) = 2−i. Le soluzioni sono quindi date da:

x = \frac{det(A_{1})}{det(A)} = \frac{2i}{2 + i} = \frac{2}{5} + \frac{4}{5}i

y = \frac{det(A_{2})}{det(A)} = \frac{2 + i}{2 + i} = 1

z = \frac{det(A_{3})}{det(A)} = \frac{2 − i}{2 + i} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i

■

Esercizio 8.42. Risolvere il seguente sistema utilizzando il metodo di Cramer:

\{ \begin{matrix}x_{1} + x_{2} + 2x_{3} + x_{4} = 0 \\ 2x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + 2x_{4} = 0 \\ x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0 \end{matrix}

Verificare che l’insieme delle soluzioni del sistema forma un sottospazio vettoriale di ℝ^{4} e determnarne la dimensione.

Soluzione: La matrice associata è :

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} )

la terza riga è combinazione lineare delle altre due, rk(A) = 2 e quindi il sistema ha ∞^{2} soluzioni (notazione adottata anche da Sernesi).

La matrice si riduce a:

A′ = ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Il sistema equivalente al primo ed associato ad A′ è

\{ \begin{matrix}x_{1} + 2x_{3} = −x_{2} − x_{4} \\ 2x_{1} + 3x_{3} = −2x_{2} − 2x_{4} \end{matrix}

Le variabili x_{2} e x_{4} si considerano ora come parametri reali liberi e dunque la matrice associata al sistema sopra (non orlata dai termini noti) è :

B = ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix} )

che ha determinante −1, le due matrici ottenute dalla sostituzione delle colonne sono:

B_{1} = ( \begin{matrix}−x_{2} − x_{4} & 2 \\ −2x_{2} − 2x_{4} & 3 \end{matrix} ) B_{2} = ( \begin{matrix}1 & −x_{2} − x_{4} \\ 2 & −2x_{2} − 2x_{4} \end{matrix} )

i loro determinanti sono: det(B_{1}) = x_{2} + x_{4} e det(B_{2}) = 0. Da cui si ricava:

x_{1} = −x_{2} − x_{4} x_{3} = 0.

Riscriviamo l’insieme delle soluzioni come:

{(−t − s, t, 0, s) ∈ ℝ^{4}|t, s ∈ ℝ},

che è sottospazio vettoriale di ℝ^{4} (poichè il sistema è omogeneo) di dimensione 2.

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