CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 7– GEOMETRIA 1

Esercizio 7.1. Determinare al variare di k ∈ ℝ la dimensione dei due sottospazi di ℝ^{3}:

U = ⟨(1, 1, k), (k + 1, 2, 2), (2 − k^{2}, 1, k)⟩

e

W = ⟨(1, 1, k), (k, 1, 2 − k), (k + 1, 2, k + 1)⟩

Soluzione: Per calcolare la dimensione di U andiamo a scrivere i suoi generatori come righe di una matrice e riduciamola. Come è noto il rango di tale matrice fornisce la dimensione di U. Analogamente per il sottospazio W.

Si ottiene:

dim U = \{ \begin{matrix}1  se k = 1 \\ 2  se k = −1 \\ 3  altrimenti \end{matrix}

e

dim W = \{ \begin{matrix}1  se k = 1 \\ 3  altrimenti \end{matrix}
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Esercizio 7.2. Calcolare al variare di k ∈ ℝ, la dimensione del sottospazio di ℝ_{≤2}[x]

U = ⟨kx − x^{2}, 1 − k + kx^{2}, k − (k − 1)x − kx^{2}⟩

Soluzione: Uno dei diversi modi di procedere è il seguente: i polinomi di ℝ_{≤2}[x] possono essere scritti come vettori di ℝ^{3}, quindi il generico polinomio p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} si va a rappresentare come (a_{0}, a_{1}, a_{2}) ∈ ℝ^{3}.

Si deve calcolare il rango della matrice

( \begin{matrix}0 & k & −1 \\ 1 − k & 0 & k \\ k & 1 − k & −k \end{matrix} )

al variare di k ∈ ℝ. Ne risulta che dim U = 3 se k ≠ \frac{1}{2} e dim U = 2 se k = \frac{1}{2}. ■

Esercizio 7.3. Dimostrare che ℝ_{≤3}[x] è somma diretta dei sottospazi:

U = {a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3}|a_{1} = a_{2}}  e  V = ⟨x − x^{2}⟩

Soluzione: Si noti che dim U = 3 e dim V = 1, pertanto si ha che dim U + dim V = 4 = dim ℝ_{≤3}[x]. Inoltre è evidente che U ∩ V = {0}. Questo prova l’asserto. Analogamente si puó mostrare in via diretta che U + V = ℝ_{≤3}[x] come segue: un generico polinomio di ℝ_{≤3}[x] si può scrivere nella forma seguente:

ℝ_{≤3}[x] ∋ p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} = a_{0} + α(x + x^{2}) + a_{3}x^{3} + β(x − x^{2})

ponendo α + β = a_{1} e α − β = a_{2}. Chiaramente a_{0} + α(x + x^{2}) + a_{3}x^{3} ∈ U e β(x − x^{2}) ∈ V, quindi ogni vettore di ℝ_{≤3}[x] è dato dalla somma di un vettore del sottospazio U e di un vettore del sottospazio V. Si conclude: U ⊕ V = ℝ_{≤3}[x]. ■

Esercizio 7.4. Calcolare la somma dei sottospazi U = ⟨(1, 1, 1)⟩ e V = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3}|x + y = x − z = 0} di ℝ^{3}. Trattasi di somma diretta?

Soluzione: La dimensione di U è 1 e una sua base è ((1, 1, 1)) . Per definizione, il sottospazio V si riscrive come:

V = {(t, −t, t) ∈ ℝ^{3}|t ∈ ℝ},

quindi la sua dimensione è 1 e una sua base è ((1, −1, 1)). Il sottospazio somma U + V è il generato dai vettori (1, 1, 1), (1, −1, 1) che essendo linearmente indipendenti formano una base. Concludiamo che la dimensione di U + V è 2 e poiché dim(U + V) = dim V + dim U, si tratta di somma diretta. ■

Esercizio 7.5. Sia p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} ∈ ℝ_{≤3}[x] allora p′(x) denoterà la sua derivata prima rispetto ad x, ovvero p′(x) = a_{1} + 2a_{2}x + 3a_{3}x^{2} . Verificare che

U = {p(x) ∈ ℝ_{≤3}[x]|p(1) = p′(1) = 0}

è un sottospazio di ℝ_{≤3}[x], poi calcolarne la dimensione e una base.

Soluzione: Tutti i polinomi di U sono dati dalle soluzioni del sistema lineare omogeneo:

\{ \begin{matrix}p(1) = 0 \\ p′(1) = 0 \end{matrix}

e quindi formano uno spazio vettoriale: U è sottospazio di ℝ_{≤3}[x]. Il generico p(x) ∈ U ha forma p(x) = (x − 1)^{2}(a + bx), dunque dim U = 2 e una base del sottospazio è ((x − 1)^{2}, (x − 1)^{2}x).

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Esercizio 7.6 (Abate 4.18). Siano x = (x_{1}, x_{2}), y = (y_{1}, y_{2}) ∈ ℝ^{2}. Dimostare che se |x_{1}| > |x_{2}| e |y_{2}| > |y_{1}| allora (x, y) è una base di ℝ^{2}.

Soluzione: Per dimostrare che x e y siffatti sono linearmente indipendenti, verifichiamo che l’equazione ax + by = 0 ammette solo la soluzione banale a = b = 0.

Esplicitando le componenti nell’equazione vettoriale si ottiene:

\{ \begin{matrix}ax_{1} + by_{1} = 0 \\ ax_{2} + by_{2} = 0 \end{matrix} ⇒ \{ \begin{matrix}ax_{1} = −by_{1} \\ ax_{2} = −by_{2} \end{matrix}

Applicando le condizioni in ipotesi si ha: |by_{1}| = |ax_{1}| ≥ |ax_{2}| = |by_{2}| ≥ |by_{1}|, necessariamente i simboli ≥ debbono essere degli = e quindi si ricava che |ax_{1}| = |ax_{2}| e |by_{1}| = |by_{2}|, l’accordo con le disuguaglianze strette dell’ipotesi si ha solo per a = b = 0. I vettori x e y sono linearmente indipendenti e quindi formano una base di ℝ^{2}.

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Esercizio 7.7 (Abate 4.16). Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e W un suo sottospazio. Dimostrare che se U_{1} e U_{2} sono due sottospazi di V supplementari di W, allora dim U_{1} = dim U_{2}.

Soluzione: La tesi è immediata conseguenza del Teorema di Grassmann:

dim V = dim W + dim U_{1} = dim W + dim U_{2}.
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Esercizio 7.8 (Abate 4.19). Determinare uno spazio vettoriale reale V e tre suoi sottospazi W_{1}, W_{2}, W_{3} tali che:

W_{1} ∩ (W_{2} + W_{3}) ≠ (W_{1} ∩ W_{2}) + (W_{1} ∩ W_{3}).

Soluzione: V = ℝ^{3}, W_{1} = ℝe_{1}, W_{2} = ℝe_{2}, W_{3} = ℝ(e_{1} + e_{2}), dove (e_{1}, e_{2}, e_{3}) denota la base canonica di ℝ^{3}.

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