CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA

FOGLIO DI ESERCIZI # 3– GEOMETRIA 1

Esercizio 3.1. Per quale t ∈ ℝ, la matrice

A = ( \begin{matrix}0 & 3t − 2 & −1 \\ t^{2} & 3 & t^{2} + 4 \\ −1 & 4t & 1 \end{matrix} )

è simmetrica? Soluzione: Per definizione, A è simmetrica se e solo se A = A^{T}. Calcolo della trasposta

A^{T} = ( \begin{matrix}0 & t^{2} & −1 \\ 3t − 2 & 3 & 4t \\ −1 & t^{2} + 4 & 1 \end{matrix} )

allora A è simmetrica se e solo se:

\{ \begin{matrix}t^{2} = 3t − 2 \\ t^{2} + 4 = 4t \end{matrix}

ovvero t = 2. ■ Esercizio 3.2. Date le matrici

A = ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \\ 0 & −\frac{1}{3} & \frac{4}{3\sqrt{2}} \\ −\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

a) stabilire se A è ortogonale e determinare A^{−1};

b) si determini X ∈ M_{3}(ℝ) tale che AX + 3B = 0, dove 0 denota la matrice nulla 3 × 3. Soluzione:

a) Per definizione, A ∈ M_{n}(ℝ) è ortogonale se e solo se AA^{T} = A^{T} A) = I_{n}. Calcolo della trasposta:

A^{T} = ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & −\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{2}{3} & −\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3\sqrt{2}} & \frac{4}{3\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \end{matrix} )

Verifica dell’ortogonalitå:

( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \\ 0 & −\frac{1}{3} & \frac{4}{3\sqrt{2}} \\ −\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & −\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{2}{3} & −\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3\sqrt{2}} & \frac{4}{3\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

A è ortogonale e quindi A^{−1} = A^{T}. b)A è invertibile perchè ortogonale, quindi è possibile calcolare:

AX + 3B = 0

A^{−1}AX + 3A^{−1}B = A^{−1}0
X = −3A^{−1}B

Esplicitamente:

X = −3 ( \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & −\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{2}{3} & −\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3\sqrt{2}} & \frac{4}{3\sqrt{2}} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}\frac{3}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{2}} & −\frac{3}{\sqrt{2}} \\ 2 & −3 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{2}} & −\frac{9}{\sqrt{2}} \end{matrix} )

■

Esercizio 3.3. Siano A, B ∈ M_{n}(𝕂) simmetriche.

a) AB è simmetrica?

b) A + B è simmetrica?

c) A − B è simmetrica?

Soluzione:

a) Per ipotesi A = A^{T} e B = B^{T}.

(AB)^{T} = B^{T} A^{T} = BA,

in generale AB non è simmetrica poichè il prodotto riga per colonna non è commutativo.

b) Bisogna verificare A + B = (A + B)^{T}:

(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T} = A + B,

A + B è simmetrica.

c) A − B è simmetrica.

■

Esercizio 3.4. Provare che

a) ∀A ∈ M_{n}(𝕂) la matrice A + A^{T} è simmetrica;

b) ∀A ∈ M_{n}(𝕂) la matrice A − A^{T} è antisimmetrica.

Soluzione:

a) Sia A ∈ M_{n}(𝕂), basta verificare che (A + A^{T})^{T} = A + A^{T}:

(A + A^{T})^{T} = A^{T} + (A^{T})^{T} = A^{T} + A = A + A^{T} ,

si ha che A + A^{T} è simmetrica.

b) Qui invece si verifica che (A − A^{T})^{T} = −(A − A^{T}):

(A − A^{T})^{T} = A^{T} − (A^{T})^{T} = A^{T} − A = −(A − A^{T}),

si ha che A − A^{T} è antisimmetrica.

■

Esercizio 3.5. Si dimostri che, per ogni matrice M ∈ M_{n}(𝕂), esistono, e sono uniche, una matrice simmetrica S ∈ M_{n}(𝕂) e una matrice antisimmetrica A ∈ M_{n}(𝕂) tali che M = S + A.

Soluzione: Definiamo S := \frac{M+M^{T}}{2} e A := \frac{M−M^{T}}{2} . Valgono: S^{T} = S, A^{T} = −A e M = S + A, come desiderato. Proviamo ora l’unicit. Supponiamo che S_{1} + A_{1} = M = S_{2} + A_{2} con S_{1} e S_{2} simmetriche, e A_{1} e A_{2} antisimmetriche. Poich S_{1} − S_{2} = A_{2} − A_{1}, le matrici S_{1} − S_{2} e A_{2} − A_{1} sono sia simmetriche che antisimmetriche. Segue che S_{1} − S_{2} = 0 = A_{2} − A_{1}, ovvero S_{1} = S_{2} e A_{1} = A_{2}. ■

Sia 𝕂 un campo (per esempio ℚ, ℝ o ℂ). Per ogni intero positivo n, denotiamo con M_{n}(𝕂) l’insieme delle matrici quadrate di ordine n a coefficienti in 𝕂.

Esercizio 3.6 (Esercizio 7.18 di Ab-deF^{1}). Si determinino tutte le matrici A ∈ M_{n}(𝕂) che commutano con ogni altra matrice di M_{n}(𝕂), cioè tali che AB = BA per ogni B ∈ M_{n}(𝕂).

Soluzione: La condizione AB = BA è per ipotesi verificata per ogni B ∈ M_{n}(𝕂), quindi deve essere vero che AE_{i,j} = E_{i,j}A per tutte le matrici elementari E_{i,j}, (E_{i,j} è la matrici tutta nulla tranne nel posto (i, j) dove c’è 1). Osserviamo che la matrice AE_{i,i} è la matrice tutta nulla tranne la colonna i-esima che coincide con la i-esima colonna di A, mentre E_{i,i}A è la matrice tutta nulla tranne la riga i-esima che coincide con la i-esima riga di A. Dalle condizioni AE_{i,i} = E_{i,i}A, per ogni i segue che A è una matrice diagonale. Siano λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{n} gli elementi della diagonale principale. Consideriamo ora le uguaglianze ricavate usando le matrici E_{i,j}, con i ≠ j. La matrice AE_{i,j} , è tutta nulla tranne la j-esima colonna che è data dalla i-esima colonna di A; essendo A diagonale, l’unico elemento non nullo della matrice AE_{i,j} è l’elemento di posto (i, j) che concide con λ_{i}. Per ragioni analoghe E_{i,j}A è tutta nulla, tranne la i-esima riga che coincide con la j-esima di riga di A e quindi l’unico elemento non nullo è l’elemento di posto (i, j) che coincide con λ_{j}. Da queste uguaglianze segue che λ_{i} = λ_{j}, per ogni i e j e quindi A = λI ■ Esercizio 3.7 (soluzione proposta in BFL ^{2}). Sia A ∈ M_{n}(𝕂) una matrice strettamente triangolare superiore, cioè tale che a_{ij} = 0 per ogni i ≥ j se A = (a_{ij})_{i,j}. Si provi che A^{n} = 0.

1Ab-deF sta ad indicare l’eserciziario “Esercizi di geometria” di Abate e de Fabritiis.

Soluzione: Per ogni j ∈ {1, dots, n − 1} chiamiamo j-esima parallela alla diagonale principale di una matrice A l’insieme degli elementi [A]_{h,h+j} con 1 ≤ h ≤ n − j (con la notazione [A]_{i,j} nell’esercizio indichiamo per maggior comodità l’elemento di posto (i, j) della matrice A, solitamente scritto come a_{i,j}) e denotiamo tale parallela P_{j}(A). Indichiamo con P_{0}(A) la diagonale principale di A.

Dimostriamo per induzione che per ogni k ≥ 1 la matrice A^{k} è ancora triangolare superiore e le parallele P_{0}(A^{k}), …, P_{k−1}(A^{k}) sono tutte nulle, ossia [A^{k}]_{i,j} = 0 per ogni i ≥ j − k + 1. Evidentemente ciò prova che per k = n, la matrice A^{n} è nulla.

Per k = 1 la tesi non è altro che l’ipotesi che A sia strettamente triangolare superiore. Supponiamo dunque che la tesi sia vera per k e dimostriamola per k + 1. Dobbiamo provare che tutti gli elementi di A^{k+1} di posto i, j con i ≥ j − k sono nulli. Si ha

[A^{k+1}]_{i,j} = [AA^{k}]_{i,j} = ∑_{h=1}^{n}[A]_{i,j}[A^{k}]_{h,j} = ∑_{h=1}^{j−k}[A]_{i,j}[A^{k}]_{h,j} + ∑_{h=j−k+1}^{n}[A]_{i,j}[A^{k}]_{h,j}.

Ma ora

• la prima sommatoria è nulla in quanto se 1 ≤ h ≤ j − k allora i ≥ j − k ≥ h, e quindi, dato che A è strettamente triangolare superiore [A]_{i,h} = 0;

• la seconda sommatoria è nulla in quanto, per ipotesi di induzione, se h ≥ j −k +1 si ha [A^{k}]_{h,j} = 0. Questo completa la dimostrazione.

■

Esercizio 3.8. Sia A ∈ M_{n}(𝕂). Una matrice B ∈ M_{n}(𝕂) si dice inversa sinistra di A (risp. inversa destra di A) se BA = I_{n} (risp. AB = I_{n}). Si dimostrino le seguenti affermazioni:

(a) Se B è una inversa sinistra di A e C è una inversa destra di A, allora A è invertibile e vale A^{−1} = B = C.

(b) A è invertibile se e soltanto se A ammette sia un’inversa sinistra che un’inversa destra.

Soluzione:

(a) È sufficiente far vedere che B = C: B = BI_{n} = B(AC) = (BA)C = I_{n}C = C.

(b) Se A è invertibile, allora, per definizione di inversa, A^{−1} è sia inversa sinistra che destra. Viceversa, se A ammette sia inversa sinistra che destra, allora A è invertibile per il precedente punto (a). ■

Prima di proseguire con gli esercizi, ricordiamo la nozione di gruppo e definiamo quella di sottogruppo.

Definizione. Un gruppo è una coppia (G, ∗), dove G è un insieme non–vuoto e ∗ è una operazione binaria su G, cioè una applicazione ∗ : G × G ⟶ G, tale che:

(1) ∗ è associativa, cioè a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c per ogni a, b, c ∈ G.

(2) Esiste un elemento e di G, detto elemento neutro (rispetto a ∗), tale che a ∗ e = e ∗ a = a per ogni a ∈ G. Si può dimostrare che tale elemento è unico.

(3) Per ogni a ∈ G, esiste un elemento b di G, detto inverso di a (rispetto a ∗), tale che a∗b = b∗a = e. Tale elemento b è unico e si indica col simbolo a^{−1}.

Per semplicità si dice spesso che G è un gruppo, sottointendendo che l’operazione ∗ è stata fissata. Il gruppo (G, ∗) (o semplicemente G) si dice gruppo abeliano se, in aggiunta alle precedenti tre proprietà,

vale anche la seguente:

(4) l’operazione ∗ è commutativa, cioè a ∗ b = b ∗ a per ogni a, b ∈ G. ♢

Osservazione. Quando si parla di gruppi abeliani, usualmente si utilizza la notazione additiva, cioè “∗” si indica con “+”, “e” con “0” e “a^{−1}” con “−a”.

Definizione. Sia (G, ∗) un gruppo con elemento neutro e. Un sottoinsieme G′ di G si dice sottogruppo di G se l’operazione ∗ induce una struttura di gruppo su G′, cioè se valgono le seguenti proprietà:

(1′) e ∈ G′;

(2′) ab^{−1} ∈ G′ per ogni a, b ∈ G′.

2BFL sta ad indicare l’eserciziario “Problemi risolti di algebra lineare” di Broglia, Fortuna e Luminati.

Osservazione. Nella definizione precedente la condizione (2′) può sostituita con la seguente: (2′′) ab ∈ G′ e a^{−1} ∈ G′ per ogni a, b ∈ G′.

Esercizio 3.9. Siano n un intero positivo e sia GL_{n}(𝕂) := {A ∈ M_{n}(𝕂) | A è invertibile}. Si dimostri che GL_{n}(𝕂), dotato del prodotto matriciale, è un gruppo (non abeliano se n ≥ 2). Tale gruppo viene detto gruppo lineare generale di ordine n (su 𝕂).

Soluzione: Vedi pagina 28 del Sernesi. ■

Esercizio 3.10. Sia n un intero positivo. Definiamo:

(a) O(n) := {A ∈ GL_{n}(ℝ) | A^{T} A = I_{n}}; (a′) O(p, q) := {A ∈ GL_{n}(ℝ) | A^{T} I_{p,q}A = I_{p,q}}, ove p, q ∈ {0, 1, …, n} con p + q = n e I_{p,q} è la matrice

diagonale avente i primi p elementi diagonali uguali a 1 e i restanti q uguali a −1;

(b) U(n) := {A ∈ GL_{n}(ℂ) | A^{H}A = I_{n}}, ove A^{H} è la matrice trasposta coniugata di A (anche detta

aggiunta hermitiana di A) definita ponendo A^{H} := (\overline{a_{ji}})_{i,j} se A = (a_{ij})_{i,j}; Dimostrare che:

(α) O(n) è un sottogruppo di GL_{n}(ℝ). Tale sottogruppo si chiama gruppo ortogonale di ordine n e le

matrici in esso contenute si dicono matrici ortogonali di ordine n.^{3} (α′) O(p, q) è un sottogruppo di GL_{n}(ℝ).^{4} (β) U(n) è un sottogruppo di GL_{n}(ℂ). Tale sottogruppo si chiama gruppo unitario di ordine n e le

matrici in esso contenute si dicono matrici unitarie di ordine n.^{5}

Soluzione: Verifica diretta immediata mediante le formule (AB)^{T} = B^{T} A^{T} e (AB)^{H} = B^{H}A^{H}. ■

Esercizio 3.11. Con le notazioni dell’esercizio precedente, provare che O(n) e O(p, q) sono stabili per trasposizione, e U(n) è stabile per passaggio a trasposta coniugata, cioè

(a) A ∈ O(n) ⟺ A^{T} ∈ O(n);

(a′) A ∈ O(p, q) ⟺ A^{T} ∈ O(p, q);

(b) A ∈ U(n) ⟺ A^{H} ∈ U(n).

Soluzione: Segue subito dall’Esercizio 3.3. ■

Esercizio 3.12 (Esercizio 7.30 di Ab-deF). Dimostrare che, date comunque due matrici A, B ∈ M_{n}(𝕂), vale: tr(AB) = tr(BA). Dedurne che tr(M^{−1}AM) = tr(A) per ogni A ∈ M_{n}(𝕂) e per ogni M ∈ GL_{n}(𝕂).

Soluzione: Basta scriverlo usando la formula del prodotto riga per colonna. ■

Esercizio 3.13 (Esercizio 7.31 di Ab-deF). Si dimostri che non esistono matrici A, B ∈ M_{n}(𝕂) tali che AB − BA = I_{n}.

Soluzione: tr(I_{n}) = n ≠ 0 = tr(AB) − tr(BA) = tr(AB − BA)

■

3Il gruppo O(n) viene utilizzato in Meccanica classica.

4Il gruppo O(3, 1) si chiama gruppo di Lorentz. Tale gruppo è di grande importanza in Relatività.

5Il gruppo U(n) viene utilizzato in Meccanica quantistica.