CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA

RETTE E PIANI – GEOMETRIA E ALGEBRA 2012/13

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Dati due punti A e B in ℝ^{2} o in ℝ^{3}, il vettore direzione determinato da A e B è un qualsiasi vettore multiplo di \overrightarrow{u}_{AB} = (x_{A} − x_{B}, y_{A} − y_{B}) se siamo in ℝ^{2} o di \overrightarrow{u}_{AB} = (x_{A} − x_{B}, y_{A} − y_{B}, z_{A} − z_{B}) se siamo in ℝ^{3}. ——————————————————————————————————————————————-

Rette

• In ℝ^{2} l’equazione parametrica della retta passante per P (x_{0}, y_{0}) e di direzione parallela al vettore \overrightarrow{u} = (u_{1}, u_{2}) è:

r : \begin{cases}x = x_{0} + u_{1}t \\ y = y_{0} + u_{2}t \end{cases} ∀t ∈ ℝ

• In ℝ^{2} la generica equazione cartesiana di una retta è:

r : ax + by + k = 0

• In ℝ^{3} l’equazione parametrica della retta passante per P (x_{0}, y_{0}, z_{0}) e di direzione parallela al vettore \overrightarrow{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) è:

r : \begin{cases}x = x_{0} + u_{1}t \\ y = y_{0} + u_{2}t \\ z = z_{0} + u_{3}t \end{cases} ∀t ∈ ℝ

• In ℝ^{3} la generica equazione cartesiana di una retta è data dall’intersezione di due piani:

r : \begin{cases}a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = k_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = k_{2} \end{cases}

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Piani

• In ℝ^{3} l’equazione parametrica del piano passante per P (x_{0}, y_{0}, z_{0}) e di direzioni parallele ai vettori \overrightarrow{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) e \overrightarrow{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) è:

π : \begin{cases}x = x_{0} + u_{1}t + v_{1}s \\ y = y_{0} + u_{2}t + v_{2}s \\ z = z_{0} + u_{3}t + v_{3}s \end{cases} ∀s, t ∈ ℝ

• In ℝ^{3} la generica equazione cartesiana di un piano è :

π : ax + by + cz = d

Il vettore (a, b, c) ha direzione perpendicolare al piano. Notiamo che i coefficienti a, b, c e d non sono unicamente determinati, ma possono variare a meno di multipli.

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Posizione tra rette e piani

• Due rette r_{1} e r_{2} sono parallele se hanno la stessa direzione, ovvero se i rispettivi vettori direzione sono proporzionali.

• In ℝ^{3} due rette r_{1} e r_{2} sono sghembe se non sono parallele e non si intersecano.

• In ℝ^{3} due rette r_{1} e r_{2} sono incidenti se si intersecano in un punto.

• In ℝ^{3} due rette r_{1} e r_{2} sono complanari se non sono sghembe, ovvero se sono parallele oppure si intersecano.

• Due piani π_{1} e π_{2} sono paralleli se non si intersecano. Analogamente due piani π_{1} : a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = k_{1} e π_{2} : a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = k_{2} sono paralleli se i vettori (a_{1}, b_{1}, c_{1}) e (a_{2}, b_{2}.c_{2}) sono proporzionali.

• Se due piani π_{1} e π_{2} non sono paralleli allora si intersecano in una retta. Un’equazione cartesiana della retta intersezione è data dal sistema formato dalle equazioni dei due piani:

r = π_{1} ∩ π_{2} : \begin{cases}π_{1} \\ π_{2} \end{cases}

• Una retta r è perpendicolare al piano π : ax + by + cz = k se r ha direzione parallela al vettore u = (a, b, c).

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Prodotto scalare e angoli

• Dati due vettori \overrightarrow{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) e \overrightarrow{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) di R^{3} chiamiamo prodotto scalare di \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v} il numero:

(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{u} · \overrightarrow{v}^{T} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3}.

• Data una retta r_{1} parallela a un vettore u e una retta r_{2} parallela a un vettore v, l’angolo ϑ tra le due rette è dato da:

cos(ϑ) = \frac{(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})}{|\overrightarrow{u}| · |\overrightarrow{v}|} = \frac{\overrightarrow{u} · \overrightarrow{v}^{T}}{|\overrightarrow{u}| · |\overrightarrow{v}|},

dove |\overrightarrow{u}| =norma di \overrightarrow{u}= lunghezza di \overrightarrow{u} =\sqrt{(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{u})} = \sqrt{\overrightarrow{u} · \overrightarrow{u}^{T}}.

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Prodotto vettoriale, area e volume

• Dati due vettori \overrightarrow{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) e \overrightarrow{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) di R^{3} chiamiamo prodotto vettoriale di u e v il vettore:

\overrightarrow{u} × \overrightarrow{v} = (u_{2}v_{3} − u_{3}v_{2}, u_{3}v_{1} − u_{1}v_{3}, u_{1}v_{2} − u_{2}v_{1}) = det [\begin{matrix}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}]

• L’Area di un parallelogramma in ℝ^{2}, di lati \overrightarrow{u} = (u_{1}, u_{2}), \overrightarrow{v} = (v_{1}, v_{2}) è:

Area(parallelogramma) = |u_{1}v_{2} − u_{2}v_{1}| = |det [\begin{matrix}u_{1} & u_{2} \\ v_{1} & v_{2} \end{matrix}]|

• L’Area di un parallelogramma in ℝ^{3}, di lati \overrightarrow{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), \overrightarrow{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) è data dalla lunghezza (norma) |\overrightarrow{u} × \overrightarrow{v}| del vettore \overrightarrow{u} × \overrightarrow{v} prodotto vettoriale di \overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}:

Area(parallelogramma) = |u × v|,

• Il volume del parallelepipedo di lati \overrightarrow{u} = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), \overrightarrow{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) e \overrightarrow{w} = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) è uguale al valore assoluto del prodotto misto (\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} × \overrightarrow{w}):

Volume(parallelepipedo) = |(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v} × \overrightarrow{w})| = |det [\begin{matrix}u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{matrix}]|

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