CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA

FOGLIO DI ESERCIZI 9– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2012/13

Esercizio 9.1. [8.40] Sia T : ℝ^{2} → ℝ^{3} l’applicazione definita da T (x, y) = (2x, x − y, 2y), e siano B = ((1, 0), (1, 1) ) e B′ = ((1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 2)) due basi di ℝ^{2} e ℝ^{3} rispettivamente. Determinare la matrice A = M_{B}^{B′}(T) associata a T rispetto alle basi B e B′.

Esercizio 9.2. [8.44] Sia S : ℝ^{3} → ℝ^{3}la funzione lineare associata a:

[\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}]

rispetto alla base ((1, 1, 1), (0, 2, 2), (0, 0, 3)) di ℝ^{3}.

a) Si scriva la matrice associata a S rispetto alla base canonica.

b) Determinare basi dell’immagine Im(S) e del nucleo N(S).

Esercizio 9.3. [8.36] Sia S : ℝ^{4} → ℝ^{3} la funzione lineare

S(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (3x_{1} − 2x_{3} + x_{4}, 4x_{1} − 2x_{2} + 2x_{3} + 3x_{4}, x_{1} + 2x_{3} + 2x_{4}).

a) Si trovi una base del nucleo di S e una base dell’immagine di S.

b) Sia E la base canonica di ℝ^{4} e sia B la base di ℝ^{3} costituita dai vettori

v_{1} = (1, 0, 1), v_{2} = (1, 0, 0), v_{3} = (1, 1, 1)

Si determini la matrice M_{E}^{B}(S) associata a S.

Esercizio 9.4. [8.35] Sia T : ℝ^{3} → ℝ^{3} la funzione lineare definita da

T (x, y, z) = (x + y, 2x − y − z, 2y + z)

e sia B = ((1, 2, −4), (0, 1, 1), (1, 0, −7)) una base di ℝ^{3}.

a) Stabilire se T è iniettiva e/o suriettiva.

b) Si determini la matrice M_{B}^{E}(T) associata a T rispetto alla base B e alla base canonica E.

c) Si determini la matrice M_{E}^{B}(T) associata a T rispetto alla base canonica E e alla base B.

d) Si determini la matrice M_{B}^{B}(T) associata a T rispetto alla base B.

Esercizio 9.5 (8.50). Sia

B = {v_{1} = (1, 0, 1), v_{2} = (0, −1, 0), v_{3} = (2, 0, 0)}

una base di ℝ^{3} e sia T l’endomorfismo di ℝ^{3} così definito:

T (v_{1}) = (3, 1, 2),  T (v_{2}) = (0, 1, 1),  T (v_{3}) = (6, 4, 6)

a) Si determini la matrice M(T) associata a T rispetto alla base canonica.

b) Si determini base e dimensione dell’Immagine e del Nucleo di T.

c) Si stabilisca per quali valori di k il vettore v_{k} = (k + 1, 0, k) appartiene all’Immagine di T.

Esercizio 9.6. [9.1] Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell’applicazione lineare T così definita

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (2x_{1} − 2x_{3}, −x_{1} + 2x_{2} + x_{3} + x_{4}, x_{3}, x_{1} − 2x_{3} + x_{4})

Determinare inoltre il relativo autovalore.

Esercizio 9.7 (9.3). Sia T l’endomorfismo di ℝ^{3} definito da

A = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}]

a) Stabilire se esistono autovettori di T ed eventualmente determinarli.

b) Stabilire se T è diagonalizzabile.

c) Determinare la base rispetto alla quale T ha matrice associata D diagonale e determinare la matrice diagonale D e la matrice P diagonalizzante (cioé tale che P^{−1}AP = D).

Esercizio 9.8. [Esercizio 9) cap. 7 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato]

Riconoscere che le due seguenti matrici M sono diagonalizzabili, e calcolare per ciascuna di esse una matrice P diagonalizzante (tale cioè che valga P^{−1}MP = D, con D matrice diagonale; ricordiamo che P è una matrice le cui colonne sono autovettori di M).

M = [\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}] , M = [\begin{matrix}2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix}]

Esercizio 9.9 (9.6). Date le matrici

A = [\begin{matrix}−1 & 1 \\ 0 & −1 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}−1 & 2 \\ −3 & 1 \end{matrix}]  C = [\begin{matrix}−3 & 4 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

a) Si determini il polinomio caratteristico di ciascuna matrice.

b) Si determinino gli autovalori, e i relativi autospazi, di ciascuna matrice.

c) Si stabilisca se le matrici sono diagonalizzabili.

Esercizio 9.10 (9.7). Date le matrici

A = [\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}−3 & 1 & −1 \\ −7 & 5 & −1 \\ −6 & 6 & −2 \end{matrix}]  C = [\begin{matrix}1 & −3 & 3 \\ 3 & −5 & 3 \\ 6 & −6 & 4 \end{matrix}]

a) Si determini il polinomio caratteristico di ciascuna matrice.

b) Si determinino gli autovalori, e i relativi autospazi, di ciascuna matrice.

c) Si stabilisca se le matrici sono diagonalizzabili.

Esercizio 9.11 (9.8). Si consideri la matrice

A = [\begin{matrix}0 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

a) Determinare autovalori e autovettori di A.

b) Stabilire se la matrice A è diagonalizzabile.

Esercizio 9.12 (9.9). Sia T : ℝ^{3} → ℝ^{3} l’endomorfismo a cui è associata la matrice

A = [\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & −6 \\ 0 & 2 & 5 \end{matrix}]

a) Si determinino gli autovalori di T e si stabilisca se T è diagonalizzabile.

b) Si determini una base di R^{3} formata da autovettori di T.

Esercizio 9.13. [Esercizio 21) cap. 7 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato] Discutere la diagonalizzabilità delle seguenti matrici al variare del parametro reale k.

A = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]  C = [\begin{matrix}3 & 1 & 5 \\ 0 & k & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]  D = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Esercizio 9.14 (9.15). Sia T l’endomorfismo di ℝ^{3} cosí definito:

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1}, x_{1} − \frac{1}{2}x_{3}, x_{2}) .

a) Calcolare gli autovalori e gli autovettori di T.

b) T diagonalizzabile?

c) Se al campo dei numeri reali si sostituisce quello dei numeri complessi, l’endomorfismo di ℂ^{3} che si ottiene è diagonalizzabile?