CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

FOGLIO DI ESERCIZI 6– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2012/13

Esercizio 6.1. [7.27] Si consideri il sottospazio V = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩ di ℝ^{5} generato dai vettori

v_{1} = (−1, 1, 2, 1, 0), v_{2} = (0, 2, 1, 1, 0), v_{3} = (1, 1, −1, 0, 0).

a) Trovare una base di V.

b) Determinare le coordinate del vettore v = (−2, 6, 6, 4, 0) ∈ V rispetto alla base trovata al punto a).

Esercizio 6.2. [7.33] Si considerino i vettori di ℝ^{4}

v_{1} = (1, 2, −1, 3), v_{2} = (−2, −4, 2, −6), v_{3} = (3, 6, k − 6, 3k)

a) Si stabilisca per quali valori di k il vettore v_{3} appartiene al sottospazio W = ⟨v_{1}, v_{2}⟩ generato da v_{1} e v_{2}.

b) Si trovi, al variare di k, una base di W e una base del sottospazio ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩.

Esercizio 6.3. [7.37] Sia V lo spazio vettoriale generato dai vettori v_{1} = (1, −2, 4, 0), v_{2} = (2, 3, −1, 1) e v_{3} = (0, −1, 3, 0):

V = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}⟩

(1) Determinare la dimensione dello spazio vettoriale V.

(2) Determinare se il vettore v_{4} = (3, 1, 3, 1) appartiene a V. In caso positivo esprimere v_{4} come combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3}.

(3) Determinare la dimensione dello spazio vettoriale W = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}⟩.

Esercizio 6.4. [7.52] Si consideri il sottoinsieme S di ℝ^{4} costituito dai vettori v della forma

v = (a_{1} − a_{2} + 2a_{3}, a_{1}, 2a_{1} − a_{2}, a_{1} + 3a_{2} + a_{4})

dove a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4} sono parametri reali.

a) S è un sottospazio vettoriale di ℝ^{4}?

b) In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.

Esercizio 6.5. [7.53] Si consideri il sottoinsieme S di ℝ^{4} costituito dai vettori v della forma

v = (a_{1} − a_{2} + 2a_{3} + a_{4}, a_{1}, 2a_{1} − a_{2}, a_{1} + 3a_{2})

dove a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4} sono parametri reali.

a) S è un sottospazio vettoriale di ℝ^{4}?

b) In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.

Esercizio 6.6. [7.56] Sia

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y + (k + 1)z = k, 2x + y + z = 0 }

a) Stabilire per quali valori di k l’insieme S è un sottospazio di ℝ^{3}.

b) Per il valore di k trovato al punto precedente determinare una base di S.

Esercizio 6.7. [7.57] Sia

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x − 2y + kz = k − 1, x − 2y + z = 0, −2x + 4ky − 2z = 0 }

a) Stabilire per quali valori di k l’insieme S è un sottospazio di ℝ^{3}.

b) Per il valore di k trovato al punto precedente determinare una base di S.

Esercizio 6.8. [7.63] Sia A la matrice reale seguente:

A = [\begin{matrix}k & −k & 0 & −1 \\ 1 & −2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & k & 1 \end{matrix}]

a) Determinare il rango di A al variare del parametro reale k.

b) Calcolare una base del nucleo di A, cioé dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo Ax = 0, nel caso k = 1.

Esercizio 6.9. [7.50] Siano U e V i sottospazi di ℝ^{3} così definiti U = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + z = 0}

V = ⟨(2, −1, −2), (−3, 4, 3)⟩

Dimostrare che U = V. Esercizio 6.10. [7.64]

a) Sia

V = ⟨ (1, 2, 1), (−1, 3, 0), (3, 1, 2) ⟩

Si determini la dimensione e una base di V.

b) Sia

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x − y + 3z = 0, 2x + 3y + z = 0, x + 2z = 0 }

Si determini la dimensione e una base di S.

c) Si confrontino i metodi risolutivi e i risultati dei due precedenti punti. Esercizio 6.11. [7.70] Sia dato l’insieme

V = {p(x) ∈ ℝ_{3}[x] | p(1) = 0 }

a) Verificare che l’insieme V è un sottospazio vettoriale di ℝ_{3}[x].

b) Determinare una base di V. Esercizio 6.12. [7.71] Siano dati i polinomi

p_{1}(x) = 1 + x, p_{2}(x) = 1 + 2x + x^{2}, p_{3}(x) = x − x^{2}.

a) Verificare che l’insieme {p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x)} è una base di ℝ_{2}[x].
b) Esprimere f(x) = x^{2} − x + 2 come combinazione lineare di p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x).

Esercizio 6.13. [7.74] Sia W l’insieme dei polinomi p(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d ∈ ℝ[x], di grado al più 3, tali che p(0) = p(1) = 0. Determinare un insieme generatore di W. Esercizio 6.14. [7.84] Sia S l’insieme delle matrici simmetriche:

S = \{ [\begin{matrix}a & b \\ b & d \end{matrix}] | a, b, d ∈ ℝ\}

(Notiamo anche che S = {A ∈ M_{2×2} | A^{T} = A}).

a) Verificare che S è un sottospazio di M_{2×2}.

b) Determinare una base di S. Esercizio 6.15. [7.89] Sia

A = [\begin{matrix}1 & −1 \\ −2 & 2 \end{matrix}]

e sia S = {M ∈ M_{2}(ℝ) | AM = MA = 0}. Dimostrare che S è un sottospazio di M_{2}(ℝ) e calcolarne la dimensione. Esercizio 6.16. [7.90] Si consideri la matrice

A = [\begin{matrix}1 & k \\ 2 & 3 \end{matrix}] .

a) Si determini una base del sottospazio U = {X ∈ M_{2}(ℝ) : AX = XA} .

b) Mostrare che il sottoinsieme W = {X ∈ U : X è invertibile} non è un sottospazio vettoriale di U. Esercizio 6.17. [7.91] Sia W = ⟨A, B , C⟩ il sottospazio di M_{2}(ℝ) generato dalle matrici

A = [\begin{matrix}0 & 0 \\ k & 0 \end{matrix}] ,  B = [\begin{matrix}1 & k \\ −2 & 0 \end{matrix}] ,  C = [\begin{matrix}k & 1 \\ k − 1 & 1 \end{matrix}]

Si determini la dimensione di W e una sua base al variare del parametro reale k. Esercizio 6.18. [7.92] Sia V = ⟨A, B, C⟩ il sottospazio di M_{2×2}(ℝ) dove

A = [\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix}] ,  B = [\begin{matrix}2 & 1 \\ 3 & 4 \end{matrix}] ,  C = [\begin{matrix}2 & 3 \\ 7 & 8 \end{matrix}] .

a) Si determini la dimensione e una base di V.

b) Si esprima D = [\begin{matrix}2 & 2 \\ 5 & 6 \end{matrix}] come combinazione lineare della base trovata al punto a).