CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

FOGLIO DI ESERCIZI 5– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2012/13

Esercizio 5.1. Si considerino le matrici

A = [\begin{matrix}3 & 1 − k & −1 \\ 3 & 1 & 1 \\ −3 & −1 − k & −1 \end{matrix}] e B = [\begin{matrix}3 & 2 & −1 \\ −1 & 1 & 0 \\ 2 & k & 1 \end{matrix}]

a) Trovare, se esistono, i valori del parametro reale k per i quali null(A) = null(B) = 0.

b) Sia C = AB. Stabilire se il sistema lineare Cx = 0 ha soluzione unica quando k = 0.

Esercizio 5.2. Si considerino le matrici

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & −1 & k + 2 & k − 1 \\ 1 & 0 & k + 2 & 2k − 1 \end{matrix}] b = [\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \\ k \end{matrix}]

con k parametro reale.

a) Si risolva il sistema Ax = b al variare del parametro k.

b) Si stabilisca per quali valori di k il vettore v = (−\frac{7}{3}, −2, \frac{1}{3}, 1) appartiene all’insieme Sol(Ax = b).

Esercizio 5.3. [v. 7.62] Sia A la matrice reale seguente:

A = [\begin{matrix}k & −k & 0 & −1 \\ 1 & −2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & k & 1 \end{matrix}]

a) Determinare il rango di A al variare del parametro reale k.

b) Calcolare null(A) e le soluzioni del sistema lineare omogeneo Ax = 0, nel caso k = 1.

Esercizio 5.4. [6.4] Calcolare l’inversa delle matrici (invertibili)

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix}]

utilizzando il metodo della riduzione a gradini.

Esercizio 5.5. [6.7] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}k & k − 1 & k \\ 0 & 2k − 2 & 0 \\ 1 & k − 1 & 2 − k \end{matrix}] (k reale).

a) Si determini per quali valori di k la matrice A è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k = −1.

b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

Esercizio 5.6. [6.9] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 3k & 8 + 2k & k − 1 \\ 0 & 8k + 8 & 0 \end{matrix}] (k reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile?

2 FOGLIO DI ESERCIZI 5 – GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2012/13

Esercizio 5.7. [v. 6.6] Dato k ∈ ℝ, si considerino le seguenti matrici reali

A_{k} = [\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

a) Stabilire per quali valori di k la matrice A_{k} è invertibile.

b) Trovare la matrice inversa di A_{1}, per k = 1.

c) Risolvere l’equazione matriciale A_{1}X + B = 0,con X matrice reale 3 × 3. Esercizio 5.8. [6.11] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & k & 0 \\ 0 & 1 & k − 4 \\ 2 & k & 0 \end{matrix}] (k reale).

a) Stabilire per quali valori di k la matrice A è invertibile.

b) Per i valori di k trovati al punto precedente determinare l’inversa di A. Esercizio 5.9. Sia A una matrice reale invertibile che soddisfa l’equazione 2A^{2} − A − I = 0. Esprimere l’inversa A^{−1} di A in funzione di A. È possibile determinare A e la sua inversa? Esercizio 5.10. [v. 7.93] Si considerino le matrici

A = [\begin{matrix}2 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}] , B = [\begin{matrix}0 & 4 \\ 4 & 0 \end{matrix}] , C = [\begin{matrix}2 & 9 \\ 10 & 1 \end{matrix}] , D = [\begin{matrix}6 & k − 2 \\ 2 & k + 2 \end{matrix}]

Si stabilisca per quali valori di k la matrice D è combinazione lineare di A, B e C. In tali casi si esprima D come combinazione lineare di A, B e C. Esercizio 5.11. [5.16] Si considerino le matrici

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & −1 \end{matrix}] , B = [\begin{matrix}2 & k + 1 \\ 4 & k − 3 \end{matrix}] , C = [\begin{matrix}0 & 1 \\ 2k − 2 & 2k − 1 \end{matrix}]

a) Si stabilisca per quale valore di k ∈ ℝ le matrici A, B e C sono linearmente dipendenti.

b) Per il valore trovato in a) esprimere B come combinazione lineare di A e C. Esercizio 5.12. [5.17] Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 3 \end{matrix}] , B = [\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] , C = [\begin{matrix}−1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}] , D = [\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix}]

stabilire se D è combinazione lineare di A, B, C. Esercizio 5.13. [7.22] Siano dati i seguenti vettori di ℝ^{3}:

v_{1} ≡ (1, 1, 1), v_{2} ≡ (2, 7, 7), v_{3} ≡ (0, k^{2} + 2, 3), v_{4} ≡ (1, k + 3, k^{2} + 2).

Stabilire se v_{4} è combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3} al variare del parametro k. Esercizio 5.14. [7.25]

a) Mostrare che i vettori

v_{1} = (0, 1, 1), v_{2} = (−1, k, 0), v_{3} = (1, 1, k)

sono linearmente indipendenti per ogni valore di k ∈ ℝ.

b) Esprimere il vettore v = (2, 1, 2) come combinazione lineare di v_{1}, v_{2}, v_{3}. Esercizio 5.15. [5.19] Siano dati i polinomi

p_{1}(x) = 1 + x, p_{2}(x) = 1 + 2x + x^{2}, p_{3}(x) = x − x^{2}.

Esprimere, se è possibile, f(x) = x^{2} − x + 2 come combinazione lineare di p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x).