CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

FOGLIO DI ESERCIZI 4– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2012/13

Esercizio 4.1 (Esercizio 4.1). Risolvere il seguente sistema non omogeneo:

\begin{cases}2x + 4y + 4z = 4 \\ x − z = 1 \\ −x + 3y + 4z = 2 \end{cases}

Esercizio 4.2 (Esercizio 4.2). Risolvere il seguente sistema omogeneo:

\begin{cases}x + 2y + w = 0 \\ 2x + 5y + 4z + 4w = 0 \\ 3x + 5y − 6z + 4w = 0. \end{cases}

Esercizio 4.3 (Esercizio 4.3). Si consideri il sistema di equazioni lineari:

\begin{cases}kx + ky + k^{2}z & = 4 \\ x + y + kz & = k \\ x + 2y + 3z & = 2k \end{cases}

a) Si dica per quali valori del parametro reale k il sistema è compatibile.

b) Esistono valori di k per i quali il sistema ha infinite soluzioni? In tali casi determinare le soluzioni.

Esercizio 4.4 (Esercizio 4.4). Risolvere il seguente sistema, al variare del parametro reale k:

\begin{cases}x + 2w = 1 \\ x + y + 3z + 2w = 1 \\ 2x + y + (k + 2)z + 4w = 2 \\ x + y + 3z + (k^{2} − k + 2)w = k \end{cases}

Scrivere le soluzioni anche in forma vettoriale.

Esercizio 4.5 (Esercizio 4.6). Determinare per quali valori del parametro reale t il sistema Ax = b è compatibile (cioè ammette soluzione). In tali casi determinare esplicitamente le soluzioni.

A = (\begin{matrix}−1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 2t + 1 \end{matrix})  b = (\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix})

Esercizio 4.6 (Esercizio 4.7). Si dica per quali valori di k il sistema di equazioni lineari:

x + y = 1

kx + y + z = 1 − k (k parametro reale) y + (1 − k)z = 1

ammette un’unica soluzione. In tale caso trovare la soluzione.

Esercizio 4.7 (Esercizio 4.8). Si consideri il sistema di equazioni lineari:

\begin{cases}2x_{1} − x_{2} = k \\ x_{1} − x_{2} − x_{3} = 0 \\ x_{1} − kx_{2} + kx_{3} = k \end{cases}  (k parametro reale)

a) Si dica per quali valori di k il sistema è compatibile e quando ha infinite soluzioni.

b) Per i valori di k che rendono il sistema compatibile, trovare le sue soluzioni.

Esercizio 4.8 (Esercizio 7.1). Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t ∈ ℝ.

A_{1} = [\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & t + 1 & −1 \\ 0 & 0 & t − 3 \end{matrix}]  A_{2} = [\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & t + 1 & −1 \\ 0 & 0 & t − 3 \\ 0 & 0 & t \end{matrix}]  A_{3} = [\begin{matrix}1 & 0 & 3 & t \\ 2 & 1 & 2 & t + 1 \\ t & 0 & t & 0 \end{matrix}]

Esercizio 4.9 (Esercizio 7.3). Determinare per quali valori del parametro reale t il sistema Ax = b è compatibile (cioè ammette soluzione). In tali casi determinare esplicitamente le soluzioni.

A = [\begin{matrix}−1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 2t + 1 \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}]

Esercizio 4.10 (Esercizio 7.4). Si considerino le matrici (dove k è un parametro reale)

A = [\begin{matrix}6k & 4 & −2 & 2 \\ 4k + 1 & 4 & −1 & 1 \\ −2k − 1 & −2 & 1 & −1 \\ 2k + 3 & 2 & 0 & 0 \end{matrix}] , b = [\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}]

a) Si stabilisca il rango di A al variare di k.

b) Si stabilisca per quali valori di k il sistema lineare Ax = b è risolubile e in tali casi se ne determinino le soluzioni.