CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

FOGLIO DI ESERCIZI 3– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2012 /13

Esercizio 3.1. [1.7] Data la matrice

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ −3 & 2 \end{matrix}]

calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I). Esercizio 3.2. [1.8] Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I).

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 3 & 3 \end{matrix}] A = [\begin{matrix}1 & −1 \\ −3 & 2 \end{matrix}]

Esercizio 3.3. [1.9] Date le matrici

A = [\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & 3 \end{matrix}] C = [\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}]

calcolare AB, BA, BC e CB. Esercizio 3.4. [1.10] Si consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori di M_{2×2}(ℝ))

I = \{[\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}] | a, b, c ∈ ℝ\}

Si verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I. Esercizio 3.5. [1.11] Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A, B non nulle tali che AB = 0. Esercizio 3.6. [1.12] Sia

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

e B una matrice tale che AB = BA. Si dimostri che

B = λI_{2} + [\begin{matrix}0 & x \\ 0 & 0 \end{matrix}]

dove λ, x ∈ ℝ. Esercizio 3.7. [1.13] Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & −2 & 3 \\ 0 & 5 & −6 \\ 2 & −1 & 4 \end{matrix}] e C = [\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ −1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}]

determinare la matrice B tale che A + B = C.

2 FOGLIO DI ESERCIZI 3 – GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2012/13

Esercizio 3.8. [1.14] Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 3 \end{matrix}] , B = [\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] , C = [\begin{matrix}−1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}] , D = [\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix}]

stabilire se D è combinazione lineare di A, B, C. Esercizio 3.9. [1.15] Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix}] , B = [\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}] , C = [\begin{matrix}3 & 6 \\ 1 & 3 \end{matrix}]

stabilire se esistono valori di k per cui C è combinazione lineare di A, B. In caso positivo esprimere tale combinazione lineare. Esercizio 3.10. [1.16] Si considerino le seguenti n-uple di numeri reali, con n = 2, 3 o 4:

u_{1} = (1, 0)  u_{2} = (\frac{1}{2}, −2)
u_{3} = (−3, \frac{1}{4}, −5)  u_{4} = (0, −\frac{1}{2}, −2)
u_{5} = (−1, 1, 2, −2)  u_{6} = (0, 0, −\frac{1}{3}, −3)

Si calcoli quando possibile

u_{i} + u_{j}, u_{i} · u_{j}^{T} , λ · u_{i}, con λ = 0, 2, −2, i, j = 1, … 6

Esercizio 3.11. [1.18] Si risolva il sistema Ax = b dove

A = [\begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}2 \\ −2 \end{matrix}]

Esercizio 3.12. [1.20] Si risolva il sistema Ax = b nei seguenti casi

a)  A = [\begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}2 \\ −3 \\ 4 \end{matrix}]
b)  A = [\begin{matrix}4 & 33 & 2 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}3 \\ 4 \\ −4 \end{matrix}]
c)  A = [\begin{matrix}−1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}]