CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

FOGLIO DI ESERCIZI 1– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2012 /13

Esercizio 1.1. [2.1] Determinare l’equazione parametrica e Cartesiana della retta del piano (a) Passante per i punti A(1, 2) e B(−1, 3).

(b) Passante per il punto C(2, 3) e parallela al vettore \overrightarrow{OP} = (−1, 2).

(c) Di equazione Cartesiana y = 2x + 5. Determinare inoltre un punto appartenente a tale retta.

Esercizio 1.2. [2.2] Determinare l’equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i punti A(1, 0, 2) e B(3, −1, 0).

(b) Passante per il punto P (1, 3, 1) e parallela al vettore \overrightarrow{OQ} = (2, 0, 0).

(c) Di equazioni Cartesiane

\begin{cases}y = 3x + 1 \\ y − x + z = 0 \end{cases}

Determinare inoltre un punto appartenente a tale retta.

Esercizio 1.3. [2.3]

a) Determinare l’equazione parametrica e Cartesiana del piano π passante per i punti A(1, 3, 1), B(2, 0, 0) e C(0, 1, 1). Il punto P (0, 2, 0) appartiene a tale piano?

b) Determinare una equazione della retta passante per A ortogonale a π.

Esercizio 1.4. [2.4] Sia r la retta di ℝ^{3} passante per i punti A(1, −1, 2) e B(−2, 0, 1), e sia s la retta contenente C(1, 3, −3) e parallela al vettore \overrightarrow{OD}(2, −2, 3).

a) Determinare la posizione reciproca delle due rette (cioè se sono incidenti, parallele o sghembe).

b) Se sono incidenti determinarne il punto di intersezione.

Esercizio 1.5. [2.7]

a) Determinare equazioni parametriche della retta r passante per i punti A = (2, 3, 1) e B = (0, 0, 1) e della retta s passante per i punti C = (0, 0, 0) e D = (4, 6, 0).

b) Stabilire se r e s sono complanari. In caso affermativo, trovare un’equazione cartesiana del piano contenente r e s.

Esercizio 1.6. [2.9] Si considerino le rette di equazioni cartesiane

r : \begin{cases}x + 2y = 0 \\ y − z = 0 \end{cases} s : \begin{cases}2x = 0 \\ x + y + z = 0 \end{cases}

a) Dopo avere verificato che le due rette sono incidenti, determinare l’equazione cartesiana della retta passante per P (1, 1, 1) e incidente r e s.

b) Determinare l’equazione cartesiana del piano passante per C(1, 2, −3) e perpendicolare a r.

c) Determinare equazioni cartesiane della retta passante per il punto P = (1, 1, 1) e perpendicolare alle due rette r e s.

Esercizio 1.7. [2.10] Sia r la retta nello spazio passante per i punti A = (0, 0, 1) e B = (−2, −1, 0). Sia s la retta passante per i punti C = (1, 1, 1) e D = (−1, 0, 0).

a) Mostrare che le due rette sono complanari e trovare un’equazione del piano π che le contiene.

b) Trovare equazioni parametriche della retta per l’origine ortogonale al piano π del punto a).

Esercizio 1.8. [2.13] Si considerino i piani dello spazio

π : x − y + z = 0  e  π′ : 8x + y − z = 0.

a) Stabilire la posizione reciproca dei due piani.

b) Trovare un’equazione cartesiana del piano passante per P = (1, 1, 1) e perpendicolare ai piani π e π′.

Esercizio 1.9. [2.18] Si considerino i piani π_{1}, π_{2}, π_{3} di equazioni

π_{1} : z − 3 = 0
π_{2} : x + y + 2 = 0
π_{3} : 3x + 3y − z + 9 = 0

e la retta r = π_{1} ∩ π_{2}.

a) Si stabilisca se il piano π_{3} contiene r.

b) Si trovi un’equazione cartesiana del piano π_{4} passante per l’origine e contenente r.

c) Si calcoli la proiezione ortogonale dell’origine sul piano π_{1}.

Esercizio 1.10. [2.20] Si considerino la retta r di equazione

r : \begin{cases}x = 2 + t \\ y = −3 − 2t \\ z = 1 \end{cases}

e la famiglia di piani π_{k} : 2x + ky − z = 1 dove k è un parametro reale.

Si determini per quali k il piano π_{k} risulta parallelo a r.

Esercizio 1.11. [12.9] Si determini la distanza del punto P (3, 1, 2) dalla retta r di equazione parametrica

r : \begin{cases}x = 6 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = −1 − 3t \end{cases}

Esercizio 1.12. [12.10] Si determini la distanza del punto P (−1, 0, 2) dal piano π di equazione π : x − 2y + 3z = −9.