PROVA INTERMEDIA - GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE – C – 28/4/2013

CORSO DI LAUREA IN ING. ELETT. TEL. E ING. INF. ORG.

Esercizio 0.1. Si considerino le seguenti rette:

r_{1} : \begin{cases}x = 1 − 2t \\ y = 3 − t \\ z = −5 − t \end{cases}  (t ∈ ℝ)  r_{2} : \begin{cases}y + z = 0 \\ x + y + z = 3 \end{cases}

a) Dimostrare che r_{1} e r_{2} sono complanari e trovare un’equazione cartesiana del piano π che le contiene.

b) Determinare un’equazione parametrica della retta passante per il punti P = (1, 1, 1) e perpendicolare al piano π trovato al punto precedente.

c) Calcolare la distanza di P da π.

Soluzione: Scriviamo r_{2} in forma parametrica:

r_{2} : \begin{cases}x = 3 \\ y = −t \\ z = t \end{cases} ∀t ∈ ℝ

a) La retta r_{1} ha direzione (−2, −1, −1) e la retta r_{2} ha direzione (0, −1, 1), quindi le rette non sono parallele e sono complanari solo se si intersecano in un punto. Mettendo a sistema r_{1} in forma parametrica con r_{2} in forma cartesiana otteniamo:

\begin{cases}x = 1 − 2t \\ y = 3 − t \\ z = −5 − t \\ y + z = 0 \\ x + y + z = 3 \end{cases} ⇒ \begin{cases}3 − t − 5 − t = 0 \\ 1 − 2t + 3 − t − 5 − t = 3 \\ x = 1 − 2t \\ y = 3 − t \\ z = −5 − t \end{cases} ⇒ \begin{cases}t = −1 \\ x = 3 \\ y = 4 \\ z = −4 \end{cases}

Le rette r_{1} e r_{2} sono incidenti nel punto A (3, 4, −4), quindi sono complanari.

Il piano π che le contiene lo possiamo ottenere mediante le direzioni delle due rette ed un qualsiasi punto di una delle due rette:

π : \begin{cases}x = 3 − 2t \\ y = −t − s \\ z = −t + s \end{cases} ⇒ x − y − z = 3

b) Ogni retta perpendicolare a π ha direzione (1, −1, −1), quindi la retta cercata ha equazioni parametriche

s : \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 1 − t \\ z = 1 − t \end{cases} ∀t ∈ ℝ

c) Per determinare la distanza del piano π da P possiamo usare direttamente la formula

d(π, P) = \frac{| −4 |}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}

In alternativa potevamo determinare l’intersezione Q tra la retta s e π e calcolare la distanza di P da Q.

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Esercizio 0.2. Dato un parametro reale k, si considerino le matrici

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 2 \\ 1 & −2k & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2k & k \end{matrix}] b = [\begin{matrix}1 \\ 5k − 1 \\ −k + 3 \\ −k − 6 \end{matrix}]

a) Si trovi, al variare di k, la dimensione e una base dello spazio N(A) delle soluzioni del sistema omogeneo associato ad A.

b) Si risolva il sistema AX = b al variare di k.

Soluzione: Per rispondere ad entrambe le domande riduciamo a gradini la matrice A|b:

[\begin{matrix}1 & 0 & 2 & | & 1 \\ 1 & −2k & 3 & | & 5k − 1 \\ 1 & 0 & 1 & | & 3 − k \\ 0 & 2k & k & | & −k − 6 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}II − I \\ III − I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 0 & 2 & | & 1 \\ 0 & −2k & 1 & | & 5k − 2 \\ 0 & 0 & −1 & | & 2 − k \\ 0 & 2k & k & | & −k − 6 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}−III \\ IV + II \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 0 & 2 & | & 1 \\ 0 & −2k & 1 & | & 5k − 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & k − 2 \\ 0 & 0 & k + 1 & | & 4k − 8 \end{matrix}]

⇒ IV − (k + 1)III [\begin{matrix}1 & 0 & 2 & | & 1 \\ 0 & −2k & 1 & | & 5k − 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & k − 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & −k^{2} + 5k − 6 \end{matrix}]

a) Consideriamo il sistema A|0 e quindi il rango di A.

– Se k ≠ 0, la matrice A ha rango 3, quindi dim(N(A)) = 0 e N(A) = {(0, 0, 0)}.

– Se k = 0, la matrice A ha rango 2, quindi dim(N(A)) = 1 e otteniamo il sistema:

\begin{cases}x + 2z = 0 \\ z = 0 \\ z = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = z = 0 \\ y = t \end{cases}

e una base del nucleo di A è B(N(A)) = {(0, 1, 0)}.

b) Notiamo che −k^{2} + 5k − 6 = 0 se k = 2 o k = 3, quindi – Se k ≠ 2, 3, l’ultima equazione diventa impossibile e il sistema non ammette soluzione.

– Se k = 2, otteniamo il sistema

\begin{cases}x + 2z = 1 \\ −4y + z = 8 \\ z = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 1 \\ y = −2 \\ z = 0 \end{cases}

– Se k = 3, otteniamo il sistema

\begin{cases}x + 2z = 1 \\ −6y + z = 13 \\ z = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = −1 \\ y = −2 \\ z = 1 \end{cases}

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Esercizio 0.3. Cos’è un gruppo? Cos’è un gruppo commutativo? L’insieme degli interi relativi ℤ è un gruppo rispetto al prodotto? Dare un esempio di gruppo non commutativo.

Esercizio 0.4. Si consideri l’insieme

{V = {v = (a_{1} + a_{3}, 2a_{1} + a_{2} + a_{3}, −a_{1} − a_{2}) ∈ ℝ^{3} : a_{1}, a_{2}, a_{3} ∈ ℝ} .}

a) Si mostri che V è un sottospazio vettoriale di ℝ^{3}.

b) Trovare una base di V e stabilire se V = ℝ^{3}

Soluzione: Dalla definizione, il generico elemento v di V è del tipo:

v = a_{1} · (1, 2, −1) + a_{2} · (0, 1, −1) + a_{3} · (1, 1, 0) con a_{1}, a_{2}, a_{3} ∈ ℝ.

a) Per quanto visto sopra, V è l’insieme delle combinazioni lineari dei tre vettori (1, 2, −1), (0, 1, −1), (1, 1.0), quindi V = ⟨(1, 2, −1), (0, 1, −1), (1, 1.0)⟩ ed è un sottospazio vettoriale di ℝ^{3}.

b) Riduciamo a gradini la matrice associata ai tre generatori di V:

[\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ −1 & −1 & 0 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}II − 2 \\ III + I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix}] ⇒ III + II [\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

La matrice ha rango due quindi dim(V) = 2 e una base di V è B(V) = {(1, 2, −1), (0, 1, −1)}.

V non coincide con ℝ^{3} in quanto è un suo sottospazio di dimensione due, mentre ℝ^{3} ha dimensione tre.

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Esercizio 0.5. Si considerino i seguenti sottospazi dello spazio ℝ_{3}[x] dei polinomi di grado minore o uguale a due:

V = {p(x) ∈ ℝ_{3}[x] | p(1) = p(−1) = p(0) = 0}
W = ⟨p_{1}(x) = x^{3} + x − 1, p_{2}(x) = 3x^{3} + x − 2, p_{3}(x) = −2x + 1⟩

a) Si determini la dimensione e una base di V.

b) Si determini la dimensione e una base di W.

c) Si stabilisca se V è un sottospazio di W.

Soluzione:

a) Il sottospazio vettoriale V di ℝ_{3}[x] è formato dai polinomi p(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d tali che:

\begin{cases}a + b + c + d = 0 \\ −a + b − c + d = 0 \\ d = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}a = t \\ b = 0 \\ c = −t \\ d = 0 \end{cases} ⇒ p(x) = t · (x^{3} − x) ∀t ∈ ℝ

Quindi V ha dimensione uno e una base di V è data dall’insieme B = {p(x) = x^{3} − x}.

b) Al generico polinomio ax^{3} +bx^{2} +cx+d di ℝ_{3}[x], associamo il vettore formato dalle sue componenti rispetto alla base canonica {x^{3}, x^{2}, x, 1} di ℝ_{3}[x], quindi ai polinomi p_{i}(x) associamo i vetori:

p_{1}(x) ⟶ p_{1} = (1, 0, 1, −1)
p_{2}(x) ⟶ p_{2} = (3, 0, 1, −2)
p_{3}(x) ⟶ p_{3} = (0, 0, −2, 1)

Per calcolare la dimensione e una base di W possiamo equivalentemente lavorare sullo spazio W′ = ⟨p_{1}, p_{2}, p_{3}⟩. Riduciamo quindi a gradini la matrice formata dai tre vettori:

[\begin{matrix}1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & −2 \\ −1 & −2 & 1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}III − I \\ IV + I \\ II \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 3 & 0 \\ 0 & −2 & −2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}−1/2II \\ 2III + II \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Di conseguenza W ha dimensione due e una sua base è data dalle colonne corrispondenti ai pivot:

B(W) = {p_{1}(x) = x^{3} + x − 1, p_{2}(x) = 3x^{3} + x − 2}

c) Poichè V ha dimensione uno è sufficiente stabilire se il suo generatore p(x) appartiene a W, ovvero se è combinazione lineare di p_{1}(x) e p_{2}(x). Passando ai vettori associati, si tratta di stabilire l’equazione vettoriale xp_{1} + yp_{2} = p ammette soluzione. Riduciamo a gradini la matrice associata a tale equazione:

[\begin{matrix}1 & 3 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 0 \\ 1 & 1 & | & −1 \\ −1 & −2 & | & 0 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}III − I \\ IV + I \\ II \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 3 & | & 1 \\ 0 & −2 & | & −2 \\ 0 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}−1/2II \\ 2III + II \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 3 & | & 1 \\ 0 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & | & 0 \end{matrix}]

Il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa coincidono, quindi il sistema ha soluzione, p(x) ∈ W e quindi V è un sottospazio di W.

Notiamo, anche se non era richiesto, che p(x) = −2p_{1}(x) + p_{2}(x), cosa che potevamo osservare dall’inizio per svolgere il punto c) più rapidamente.

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Esercizio 0.6. Cos’è un insieme linearmente indipendente in uno spazio vettoriale? Dare degli esempi per vettori di ℝ^{4} e per uno spazio di polinomi.