CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA

INSIEMI ORTONORMALI, MATRICI SIMMETRICHE E TEOREMA SPETTRALE – GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2011/12

——————————————————————————————————————————————-

Il prodotto scalare canonico di ℝ^{n} (che noi considereremo salvo diversa indicazione) è: dati u = (x_{i})_{i=1,..,n} e v = (y_{i})_{i=1,..,n}:

(u, v) = ∑_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} = u · v^{T}

——————————————————————————————————————————————-

Norma o lunghezza: definiamo norma o lunghezza di un vettore v il numero

∥ v ∥= \sqrt{(v, v)}

Notiamo che

(v, v) =∥ v ∥^{2}

——————————————————————————————————————————————-

Angolo tra due vettori. Dati due vettori u, v ∈ V e indicato con ϑ l’angolo convesso tra essi, si ha

cos(ϑ) = \frac{(u, v)}{∥ u ∥ · ∥ v ∥}

——————————————————————————————————————————————-

Ortogonalità. Due vettori u, v ∈ V sono ortogonali se (u, v) = 0. ——————————————————————————————————————————————-

Proiezione ortogonale su un vettore. Dati due vettori u, v ∈ V si chiama proiezione ortogonale di u su v il vettore

pr_{v}(u) = \frac{(u, v)}{∥ v ∥^{2}} · v = \frac{(u, v)}{(v, v)} · v

• pr_{v}(u) è un vettore parallelo a v,

• u − pr_{v}(u) è un vettore ortogonale a v,

• u = (u − pr_{v}(u)) + pr_{v}(u), ovvero ogni vettore u può sempre essere scritto come somma di di un

vettore ortogonale e di uno parallelo ad un altro vettore v. ——————————————————————————————————————————————-

Complemento ortogonale. Dato uno spazio vettoriale W ⊆ ℝ^{n}, chiamiamo complemento ortogonale di W lo spazio vettoriale

W^{⊥} = {u ∈ ℝ^{n} | (u, w) = 0 ∀w ∈ W }

W^{⊥} è uno spazio vettoriale. ——————————————————————————————————————————————-

Insieme ortonormale è un insieme {v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} di vettori:

• a due a due ortogonali: (v_{i}, v_{j}) = 0 per i ≠ j = 1, …, n,

• di norma 1: ∥ v_{i} ∥= 1 = (v_{i}, v_{i}) per i = 1, …, n

2 INSIEMI ORTONORMALI, MATRICI SIMMETRICHE E TEOREMA SPETTRALE – GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2011/12

——————————————————————————————————————————————-

Gram-Schmidt. Permette di individuare una base ortonormale

B′ = {u_{1}, u_{2}, …, u_{n}}

a partire da una base qualsiasi

B = {v_{1}, v_{2}, …, v_{n}}

nel seguente modo.

Determiniamo innanzitutto a partire da B una base

B′′ = {w_{1}, w_{2}, …, w_{n}}

di vettori a due a due ortogonali (non necessariamente di norma 1). Notiamo che siccome dei vettori w_{i} ci interessa solo l’ortogonalità, possiamo sostituire un vettore w_{i} ottenuto con un qualsiasi suo multiplo. In particolare per ottenere la base B′ cercata è sufficiente rendere i vettori w_{i} di norma 1, dividendoli per la loro norma:

• w_{1} = v_{1}

• w_{2} = v_{2} − pr_{w_{1}}(v_{2}) = v_{2} − \frac{(v_{2}, w_{1})}{(w_{1}, w_{1})} · w_{1}

• w_{3} = v_{3} − pr_{w_{1}}(v_{3}) − pr_{w_{2}}(v_{3}) = v_{3} − \frac{(v_{3}, w_{1})}{(w_{1}, w_{1})} · w_{1} − \frac{(v_{3}, w_{2})}{(w_{2}, w_{2})} · w_{2}

• …
• w_{n} = v_{n} − ∑_{i=1}^{n−1} pr_{w_{i}}(v_{n}) = v_{n} − ∑_{i=1}^{n−1} \frac{(v_{n}, w_{i})}{(w_{i}, w_{i})} · w_{i}

Quindi

u_{1} = \frac{w_{1}}{∥ w_{1} ∥},  u_{2} = \frac{w_{2}}{∥ w_{2} ∥},  u_{3} = \frac{w_{3}}{∥ w_{3} ∥},  …,  u_{n} = \frac{w_{n}}{∥ w_{n} ∥}

La base canonica è una base ortonormale. ——————————————————————————————————————————————-

Endomorfismo simmetrico: T : V → V tale che:

(T (u), v) = (u, T (v)) ∀u, v ∈ V

Proprietà : Se T è un endomorfismo e A è la matrice associata a T rispetto a una base ortonormale, allora:

• T è simmetrico ⇔ A è simmetrica (cioè A = A^{T}).

• T ha n autovalori reali (contati con la loro molteplicità).

• Autovettori relativi a autovalori distinti sono ortogonali. ——————————————————————————————————————————————-

Matrice ortogonale: P è una matrice ortogonale se

P · P^{T} = I ovvero P^{−1} = P^{T}

Notiamo che det(P) = ±1, e P è detta ortogonale speciale se det(P) = 1. ——————————————————————————————————————————————-

Teorema spettrale

• Se T è un endomorfismo simmetrico di V, allora esiste una base ortonormale di V formata da autovettori di T. In particolare T è diagonalizzabile, cioè esiste una base (ortonormale) di V rispetto alla quale la matrice associata a T è diagonale.

• Se A è una matrice simmetrica, allora A è simile a una matrice diagonale D (ovvero A è diagonalizzabile). Inoltre la matrice diagonalizzante P è una matrice ortogonale:

P^{−1}AP = P^{T} AP = D