CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA

FOGLIO DI ESERCIZI # 10– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2011-2012

Esercizio 10.1 (9.7). Date le matrici

A = [\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}−3 & 1 & −1 \\ −7 & 5 & −1 \\ −6 & 6 & −2 \end{matrix}]  C = [\begin{matrix}1 & −3 & 3 \\ 3 & −5 & 3 \\ 6 & −6 & 4 \end{matrix}]

a) Si determini il polinomio caratteristico di ciascuna matrice.

b) Si determinino gli autovalori, e i relativi autospazi, di ciascuna matrice.

c) Si stabilisca se le matrici sono diagonalizzabili.

Esercizio 10.2. Sia T l’endomorfismo di R^{3} definito da

A = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}]

a) Stabilire se esistono autovettori di T ed eventualmente determinarli.

b) Stabilire se T è diagonalizzabile.

c) Determinare la base rispetto alla quale T ha matrice associata D diagonale e determinare la matrice diagonale D e la matrice P diagonalizzante (cioé tale che P^{−1}AP = D).

Esercizio 10.3 (9.8). Si consideri la matrice

A = [\begin{matrix}0 & 6 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

a) Determinare autovalori e autovettori di A.

b) Stabilire se la matrice A è diagonalizzabile.

Esercizio 10.4 (Esercizio 9.2). Sia T : R^{3} → R^{3} l’applicazione lineare definita da

T (x, y, z) = (x, y + 3z, x + y − z)

a) Si determinino gli autovalori di T.

b) Si determinino gli autovettori e gli autospazi di T.

c) Si stabilisca se T è diagonalizzabile, e in caso positivo si determini la matrice P diagonalizzante.

Esercizio 10.5 (Esercizio 9.13). [Esercizio 21) cap. 7 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato]

Discutere la diagonalizzabilità delle seguenti matrici al variare del parametro reale k.

A = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]  C = [\begin{matrix}3 & 1 & 5 \\ 0 & k & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]  D = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Esercizio 10.6. Sia

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix}]

la matrice associata all’applicazione lineare T : R^{3} → R^{3} rispetto alla base

B = { 1, 1, 0), (0, 3, 0), (0, 1, 1) }

a) Si determinino gli autovalori di T.

b) Si determinino gli autovettori e gli autospazi di T.

c) Si stabilisca se T è diagonalizzabile.

Esercizio 10.7. Si consideri la matrice ad elementi reali

A = [\begin{matrix}3 − k & −1 & 0 \\ k & 2 & k \\ 0 & 1 & 3 − k \end{matrix}]

a) Determinare gli autovalori della matrice A.

b) Stabilire per quali valori del parametro reale k la matrice data è diagonalizzabile.

Esercizio 10.8. Siano A e B le matrici reali

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}] e B = [\begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ 5 & k − 1 & 1 \end{matrix}]

a) Determinare, se esistono, i valori del parametro reale k per cui A e B sono simili.

Esercizio 10.9. Sia T l’endomorfismo di R^{4} cos definito:

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (x_{1} + 2x_{2}, 2x_{1} + x_{2}, kx_{3} + x_{4}, x_{4}).

a) Calcolare gli autovalori e gli autovettori di T.

b) Stabilire per quali valori reali di k l’endomorfismo T diagonalizzabile.

Esercizio 10.10. Si consideri la matrice

A = [\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

a) Calcolare gli autovalori e gli autovettori di A.