CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA

FOGLIO DI ESERCIZI 7– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2011/12

Esercizio 7.1. [7.1] Sia T : R^{3} → R^{3} l’applicazione definita da T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1}^{2}, x_{2}, 2x_{3}). Stabilire se T è lineare.

Esercizio 7.2. [7.2] Verificare che la funzione determinante definita sull’insieme delle matrici M_{2×2} avalori in R non è lineare.

Esercizio 7.3. [7.3] Stabilire se esiste una applicazione lineare T : R^{2} → R^{2} tale che

T (1, 2) = (3, 0),  T (2, 7) = (4, 5),  T (1, 5) = (1, 4)

Esercizio 7.4. [7.4] Stabilire se esiste una applicazione lineare T : R^{2} → R^{2} tale che

T (1, 2) = (3, 0),  T (2, 4) = (5, 0),  T (0, 1) = (1, 1)

Esercizio 7.5. [7.5] Determinare una applicazione lineare T : R^{2} → R^{2} tale che

T (1, 1) = (1, 2), T (0, 2) = (4, 4)

Esercizio 7.6. [v. 7.6] Sia T : R^{2} → R^{3} l’applicazione definita da T (x, y) = (x + y, 2x, x − y). a) Verificare che T è lineare.

b) Determinare Nucleo e Immagine di T.

d) Determinare T (1, 2).

Esercizio 7.7. [v. 7.7] Sia T : R^{2} → R^{3} l’applicazione lineare definita sulla base canonica di R^{2} nel seguente modo: T (e_{1}) = (1, 2, 1), T (e_{2}) = (1, 0, −1).

a) Esplicitare T (x, y).

c) Stabilire se (3, 4, 1) appartiene a Im(T).

Esercizio 7.8. [v 7.11] Sia T : R^{4} → R^{5} la funzione lineare definita da

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (x_{1} − x_{2}, x_{1} + x_{2}, x_{2}, x_{2} + 3x_{3}, −x_{1} − x_{2})

a) Trovare una base del nucleo N(T) e una base dell’immagine Im(T).

b) Dire se T è iniettiva e/o suriettiva.

c) Per quali valori di k ∈ R il vettore v_{k} = (k, 2, 1 − k, 4, −2) appartiene all’immagine di T?

Esercizio 7.9. [v 7.12] Sia T : R^{3} → R^{4} la funzione lineare definita da:

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (2kx_{1} − x_{2}, x_{2} + kx_{3}, x_{1} + x_{2} − x_{3}, x_{1} − x_{2})

a) Trovare le dimensioni del nucleo e dell’immagine di T al variare del parametro reale k.

b) Stabilire per quali valori di k il vettore v = (3, 3, 1, 0) appartiene all’immagine di T.