CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA

FOGLIO DI ESERCIZI 6– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2011/12

Esercizio 6.1. [6.1] Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A = [\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & −2 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}−11 & 3 \\ 2 & 0 \end{matrix}]

C = [\begin{matrix}2 & 3 & −2 \\ 1 & −2 & 0 \\ 0 & −1 & 2 \end{matrix}]  D = [\begin{matrix}2 & −2 & −2 \\ 1 & 1 & 0 \\ −3 & 4 & 0 \end{matrix}]  F = [\begin{matrix}7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ −3 & 4 & −3 \end{matrix}]

Esercizio 6.2. [6.3] Calcolare il rango della seguente matrice A, utilizzando il calcolo del determinante.

A = [\begin{matrix}1 & k + 2 & 0 \\ k^{2} − 1 & 0 & 4 − k \\ 1 & 2k − 3 & 0 \end{matrix}] k ∈ R

Esercizio 6.3. [6.7] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}k & k − 1 & k \\ 0 & 2k − 2 & 0 \\ 1 & k − 1 & 2 − k \end{matrix}] (k reale).

a) Si determini per quali valori di k la matrice A è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k = −1.

b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

Esercizio 6.4. [6.12] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}2 & 2 & k \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3k \end{matrix}] (k reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Si determini il valore di k tale per cui la matrice A abbia determinante uguale a uno. Per tale valore di k, si calcoli la matrice inversa di A.

Esercizio 6.5. [7.5] Si dica per quali valori di k il sistema di equazioni lineari:

x + y = 1

kx + y + z = 1 − k (k parametro reale) y + (1 − k)z = 1

ammette un’unica soluzione.

Esercizio 6.6. [7.13] Si consideri il sistema lineare

\begin{cases}(1 + k)x = 0 \\ ky + z + w = 2 \\ x + kz + 2w = k \\ x + kw = 0 \end{cases}  (k parametro reale)

a) Si dica per quali valori di k il sistema ammette una unica soluzione.

b) Si determinino tutte le soluzioni del sistema per k = 0.

Esercizio 6.7. [7.16] Si consideri il sistema di equazioni lineari:

\begin{cases}kx_{1} − x_{4} = 1 \\ x_{2} + 2x_{3} = 0 \\ (k − 1)x_{1} + (k − 1)x_{2} = k − 1 \\ kx_{1} + kx_{2} = 2k \end{cases}  (k parametro reale)

a) Si dica per quali valori di k il sistema ammette soluzione, specificando se e quando ne ammette una o infinite.

b) Per i valori di k che rendono il sistema compatibile, si determinino le sue soluzioni.

Esercizio 6.8. [7.19] Si consideri lo spazio vettoriale N(A) dato dalle soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0 con

A = [\begin{matrix}8k + 1 & k + 4 & 0 & k + 8 \\ 2k & 0 & 1 & 2k + 2 \\ 0 & 0 & k + 4 & 0 \\ k & 0 & k + 2 & k + 3 \end{matrix}] k parametro reale.

a) Si stabilisca per quali valori di k lo spazio N(A) è nullo: N(A) = {(0, 0, 0, 0)}.

b) Per i valori di k esclusi al punto precedente si determini una base di N(A).

Esercizio 6.9. [7.24] Determinare per quali valori del parametro reale k i seguenti vettori formano una base di R^{3}.

v_{1} ≡ (1, 2, −2),  v_{2} ≡ (1, 1, −3),  v_{3} ≡ (3, 7, k − 6)

Esercizio 6.10. [7.30] Sia V il sottospazio di R^{4} generato dai vettori:

v_{1} ≡ (0, k − 1, k^{2} − 1, 3k − 2),  v_{2} ≡ (1, 3, 0, 3),  v_{3} ≡ (−1, −2, 1, −1).

Determinare la dimensione e una base di V al variare del parametro reale k.

Esercizio 6.11. [7.31] Sia W il sottospazio di R^{4} generato dai vettori {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}:

v_{1} = (−1, 1, −1, 1),  v_{2} = (1, k, 3, 4),  v_{3} = (1, −1, k, 1),  v_{4} = (0, 0, 1, k)

Si calcoli la dimensione di W al variare di k ∈ R.

Esercizio 6.12. [7.36] Sia V = ⟨ v_{1}, v_{2}, v_{3} ⟩ con

v_{1} = (k + 3, k + 3, 0),  v_{2} = (0, 3, k + 2),  v_{3} = (0, 3k, k)

a) Si stabilisca per quali valori di k ∈ R lo spazio V coincide con R^{3}.

b) Si determini la dimensione una base di V al variare di k ∈ R.

Esercizio 6.13. [7.41] Si consideri l’insieme

S = { (k + 1, k + 1, 0, 2k), (0, 2k, 0, 0), (1, 3k, 0, 1), (1, 5k, 1, k) } .

a) Si stabilisca per quali valori di k l’insieme S è una base di R^{4}.

b) Posto k = −1 si trovino le coordinate del vettore v = (1, 1, 0, 1) rispetto alla base trovata.

Esercizio 6.14. [7.44] Sia

B = { (−2, 0, 0), (1, k, −1), (1, −1, k) }

a) Trovare i valori del parametro k per cui B è una base di R^{3}.

b) Per il valore k = 3, determinare le coordinate dei vettori v = (−3, 2, 1) e w = (0, 1, 2) rispetto alla base B.

Esercizio 6.15. [7.53] Si consideri il sottoinsieme S di R^{4} costituito dai vettori v della forma

v = (a_{1} − a_{2} + 2a_{3} + a_{4}, a_{1}, 2a_{1} − a_{2}, a_{1} + 3a_{2})

dove a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4} sono parametri reali.

a) S è un sottospazio vettoriale di R^{4}?

b) In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.