CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

FOGLIO DI ESERCIZI 4– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2011/12

Esercizio 4.1. [6.4] Calcolare l’inversa delle matrici (invertibili)

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix}]

utilizzando il metodo della riduzione a gradini.

Esercizio 4.2. [6.7] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}k & k − 1 & k \\ 0 & 2k − 2 & 0 \\ 1 & k − 1 & 2 − k \end{matrix}] (k reale).

a) Si determini per quali valori di k la matrice A è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k = −1.

b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

Esercizio 4.3. [6.9] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 3k & 8 + 2k & k − 1 \\ 0 & 8k + 8 & 0 \end{matrix}] (k reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile?

Esercizio 4.4. [6.6] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}]

a) Stabilire per quali valori di k la matrice è invertibile.

b) Trovare la matrice inversa di A per k = 1.

Esercizio 4.5. [6.11] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & k & 0 \\ 0 & 1 & k − 4 \\ 2 & k & 0 \end{matrix}] (k reale).

a) Stabilire per quali valori di k la matrice A è invertibile.

b) Per i valori di k trovati al punto precedente determinare l’inversa di A.

Esercizio 4.6. Si considerino le matrici

A = [\begin{matrix}3 & 1 − k & −1 \\ 3 & 1 & 1 \\ −3 & −1 − k & −1 \end{matrix}] e B = [\begin{matrix}3 & 2 & −1 \\ −1 & 1 & 0 \\ 2 & k & 1 \end{matrix}]

a) Trovare, se esistono, i valori del parametro reale k per i quali null(A) = null(B) = 0.

b) Sia C = AB. Stabilire se il sistema lineare Cx = 0 ha soluzione unica quando k = 0.

Esercizio 4.7. [7.14] Si consideri il sistema di equazioni lineari:

\begin{cases}x_{1} − (k + 1)x_{2} = k \\ 2x_{1} − 2x_{2} = 2k \\ (k + 2)x_{1} + (k − 2)x_{2} = 0 \end{cases}  (k parametro reale)

a) Si dica per quali valori di k il sistema è compatibile.

b) Per i valori di k che rendono il sistema compatibile, trovare le sue soluzioni.

Esercizio 4.8. [7.16] Al variare del parametro reale k, si risolva il sistema di equazioni lineari omogenee:

\begin{cases}2kx_{2} + x_{3} − x_{4} = 0 \\ x_{1} − 2x_{3} + kx_{4} = 0 \\ x_{1} − 2kx_{3} + x_{4} = 0 \end{cases}

Esercizio 4.9. [7.17] Si consideri il sistema lineare dipendente dal parametro reale k

\begin{cases}x_{1} + kx_{2} + x_{3} + x_{4} = 1 \\ x_{1} + x_{2} + 2x_{3} + x_{4} = 1 \\ kx_{1} + kx_{4} = 1 \end{cases}

a) Si determini per quali valori di k il sistema ammette soluzione.

b) Si stabilisca se esistono valori di k per i quali il sistema ha soluzione unica.

Esercizio 4.10. Si considerino le matrici

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 5 \\ 1 & −1 & k + 2 & k − 1 \\ 1 & 0 & k + 2 & 2k − 1 \end{matrix}] b = [\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \\ k \end{matrix}]

con k parametro reale.

a) Si risolva il sistema Ax = b al variare del parametro k.

b) Si stabilisca per quali valori di k il vettore v = (−\frac{7}{3}, −2, \frac{1}{3}, 1) appartiene all’insieme Sol(Ax = b).

Esercizio 4.11. [v. 7.62] Sia A la matrice reale seguente:

A = [\begin{matrix}k & −k & 0 & −1 \\ 1 & −2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & k & 1 \end{matrix}]

a) Determinare il rango di A al variare del parametro reale k.

b) Calcolare null(A) e le soluzioni del sistema lineare omogeneo Ax = 0, nel caso k = 1.

Esercizio 4.12. [v. 7.93] Si considerino le matrici

A = [\begin{matrix}2 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix}] ,  B = [\begin{matrix}0 & 4 \\ 4 & 0 \end{matrix}] ,  C = [\begin{matrix}2 & 9 \\ 10 & 1 \end{matrix}] ,  D = [\begin{matrix}6 & k − 2 \\ 2 & k + 2 \end{matrix}]

Si stabilisca per quali valori di k la matrice D è combinazione lineare di A, B e C. In tali casi si esprima D come combinazione lineare di A, B e C.

Esercizio 4.13. [7.22] Siano dati i seguenti vettori di R^{3}:

v_{1} ≡ (1, 1, 1),  v_{2} ≡ (2, 7, 7),  v_{3} ≡ (0, k^{2} + 2, 3),  v_{4} ≡ (1, k + 3, k^{2} + 2).

Stabilire se v_{4} è combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3} al variare del parametro k.