CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

FOGLIO DI ESERCIZI 3– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2011/12

Esercizio 3.1. [4.1] Risolvere il seguente sistema non omogeneo:

\begin{cases}2x + 4y + 4z = 4 \\ x − z = 1 \\ −x + 3y + 4z = 2 \end{cases}

Esercizio 3.2. [4.2] Risolvere il seguente sistema omogeneo:

\begin{cases}x + 2y + w = 0 \\ 2x + 5y + 4z + 4w = 0 \\ 3x + 5y − 6z + 4w = 0. \end{cases}

Scrivere le soluzioni anche in forma vettoriale.

Esercizio 3.3. [4.3] Si consideri il sistema di equazioni lineari:

\begin{cases}kx + ky + k^{2}z & = 4 \\ x + y + kz & = k \\ x + 2y + 3z & = 2k \end{cases}

a) Si dica per quali valori del parametro reale k il sistema è compatibile.

b) Esistono valori di k per i quali il sistema ha infinite soluzioni? In tali casi determinare le soluzioni.

Esercizio 3.4. [4.5] Si risolva il seguente sistema di equazioni lineari:

\begin{cases}x + y + 2z & = 1 \\ (k + 2)x + 2y + 4z & = 2 \\ (1 + 2k)x + 3y + 2z & = 1 + 2k \end{cases}

al variare del parametro reale k.

Esercizio 3.5. [7.1] Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t ∈ R.

A_{1} = [\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & t + 1 & −1 \\ 0 & 0 & t − 3 \end{matrix}]  A_{2} = [\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & t + 1 & −1 \\ 0 & 0 & t − 3 \\ 0 & 0 & t \end{matrix}]  A_{3} = [\begin{matrix}1 & 0 & 3 & t \\ 2 & 1 & 2 & t + 1 \\ t & 0 & t & 0 \end{matrix}]

Esercizio 3.6. [7.2] Siano v, w ∈ R^{n} vettori colonna. Dimostrare che la matrice A = vw^{T} ∈ M_{n}(R) ha rango 0 oppure 1.

Esercizio 3.7. [7.4] Si considerino le matrici (dove k è un parametro reale)

A = [\begin{matrix}6k & 4 & −2 & 2 \\ 4k + 1 & 4 & −1 & 1 \\ −2k − 1 & −2 & 1 & −1 \\ 2k + 3 & 2 & 0 & 0 \end{matrix}] , b = [\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}]

a) Si stabilisca il rango di A al variare di k.

b) Si stabilisca per quali valori di k il sistema lineare Ax = b è risolubile e in tali casi se ne determinino le soluzioni.

Esercizio 3.8. [7.14] Si consideri il sistema di equazioni lineari:

\begin{cases}x_{1} − x_{2} = t − 2 \\ tx_{1} + (t − 4)x_{2} = 0 \\ 2x_{1} + (2 − 2t)x_{2} = 2t − 4 \end{cases}  (t parametro reale)

a) Si dica per quali valori di t il sistema è compatibile.

b) Per i valori di t che rendono il sistema compatibile, trovare le sue soluzioni.

Esercizio 3.9. [7.21] Si consideri la matrice

A = [\begin{matrix}2 & 6 & 2k + 2 \\ 3 & k + 11 & 5k + 7 \\ −1 & −3 & k^{2} − 3 \end{matrix}]

dove k è un parametro reale.

a) Si calcoli il rango di A.

b) Si stabilsca per quali valori di k il sistema Ax = b ha soluzione per ogni b ∈ R^{3}.

Esercizio 3.10. [7.7] Si consideri il sistema lineare

\begin{cases}−x + 2y + 3z = k + 3 \\ −2x + 6y + (k + 7)z = 2k + 9 \\ x − 4y − 2z = k − 2 \\ 3x − 6y + (k − 7)z = k^{2} − k − 9 \end{cases}  (k parametro reale)

a) Si dica per quali valori di k il sistema ammette una unica soluzione e per quali k ne ammette infinite.

b) Si determinino tutte le soluzioni del sistema.