CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA

DETERMINANTE, INVERSA E RANGO DI UNA MATRICE– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2011/12

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Una matrice (quadrata) A è invertibile se esiste una matrice, indicata con A^{−1}, tale che AA^{−1} = I. Condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice quadrata A sia invertibile è che sia det(A) ≠ 0,

ovvero che rg(A) sia massimo. ——————————————————————————————————————————————-

Per calcolare l’inversa di una matrice utilizzeremo due metodi:

• Si affianca alla matrice A la matrice identica e si riduce A a gradini in forma normale (cioè con tutti 1 sulla diagonale e 0 altrove). La matrice in cui è stata trasformata la matrice identica è l’inversa A^{−1}.

• Si utilizzano le formule:

A^{−1} = \frac{1}{det(A)} [A′_{ij}]^{T}

dove

A′_{ij} = complemento algebrico di a_{ij}

= (−1)^{i+j} · det(matrice ottenuta da A eliminando la riga i

e la colonna j)

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Il calcolo dei detreminanti può essere utilizzato per determinare il rango di una matrice, infatti:

il rango di una matrice A corrisponde al massimo ordine di una sottomatrice quadrata di A con determinante non nullo.

Talvolta per calcolare il rango di una matrice può essere utile utilizzare un metodo misto di riduzione e di calcolo dei determinanti. Infatti, sia A una matrice e A′ la matrice ottenuta da A con qualche passo di riduzione a gradini. Allora rg(A) = rg(A′). In particolare se A è quadrata det(A) = 0 se e solo se det(A′) = 0. ——————————————————————————————————————————————-