CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA

FOGLIO DI ESERCIZI 6– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2011/12

Esercizio 6.1. Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A = [\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & −2 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}−11 & 3 \\ 2 & 0 \end{matrix}]

C = [\begin{matrix}2 & 3 & −2 \\ 1 & −2 & 0 \\ 0 & −1 & 2 \end{matrix}]  D = [\begin{matrix}2 & −2 & −2 \\ 1 & 1 & 0 \\ −3 & 4 & 0 \end{matrix}]  F = [\begin{matrix}7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ −3 & 4 & −3 \end{matrix}]

Soluzione:

det(A) = 2 · (−2) − 1 · 3 = −4 − 3 = −7
det(B) = 0 − 2 · 3 = −6

Per calcolare il determinante di C sviluppiamo secondo la terza colonna:

det(C) = − 2 · (−1)^{1+3} · det [\begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & −1 \end{matrix}] + 2 · (−1)^{3+3} · det [\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & −2 \end{matrix}]
= − 2 · (−1) + 2 · (−7) = 2 − 14 = −12

Analogamente per calcolare il determinante di D sviluppiamo secondo la terza colonna:

det(D) = − 2 · (−1)^{1+3} · det [\begin{matrix}1 & 1 \\ −3 & 4 \end{matrix}] = −2 · (7) = −14

Per calcolare il determinante di F sviluppiamo rispetto alla prima riga. Notiamo che il determinante di F risulta il prodotto degli elementi della diagonale:

det(F) =7 · (−1)^{1+1} · det [\begin{matrix}1 & 0 \\ 4 & −3 \end{matrix}] = 7 · 1 · (−3) = −21
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Esercizio 6.2. Calcolare il rango della seguente matrice A, utilizzando il calcolo del determinante.

A = [\begin{matrix}1 & k + 2 & 0 \\ k^{2} − 1 & 0 & 4 − k \\ 1 & 2k − 3 & 0 \end{matrix}] k ∈ R

Soluzione: Per calcolare il rango di A utilizziamo la seguente proprietà.

Il rango di una matrice A corrisponde al massimo ordine di una sottomatrice quadrata di A con deteminante non nullo.

Cominciamo quindi a calcolare il determinante di A per stabilire quando rg(A) = 3.

Sviluppiamo rispetto alla terza colonna:

det(A) = −(4 − k) · [2k − 3 − (k + 2)] = (k − 4)(k − 5)

Quindi det(A) = 0 se k = 4 o k = 5.

Di conseguenza:

• Se k ≠ 4, 5, la matrice ha determinante non nullo, quindi rg(A) = 3.

• Se k = 4 la matrice A diventa:

A = [\begin{matrix}1 & 6 & 0 \\ 15 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \end{matrix}]

Sappiamo già che rg(A) ≤ 2. Per stabilire se ha rango 2 basta trovare una sottomatrice 2 × 2 con determinante non nullo. In effetti in A troviamo per esempio la sottomatrice:

B = [\begin{matrix}1 & 6 \\ 15 & 0 \end{matrix}] det(B) = −15 · 6 ≠ 0

quindi rg(A) = 2.

• Se k = 5 la matrice A diventa:

A = [\begin{matrix}1 & 7 & 0 \\ 24 & 0 & 1 \\ 1 & 7 & 0 \end{matrix}]

Sappiamo già che rg(A) ≤ 2. Per stabilire se ha rango 2 basta trovare una sottomatrice 2 × 2 con determinante non nullo. In effetti in A troviamo per esempio la sottomatrice:

C = [\begin{matrix}7 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] det(C) = 7 ≠ 0

quindi rg(A) = 2.

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Esercizio 6.3. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}k & k − 1 & k \\ 0 & 2k − 2 & 0 \\ 1 & k − 1 & 2 − k \end{matrix}] (k reale).

a) Si determini per quali valori di k la matrice A è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k = −1.

b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

Soluzione:

a) Una matrice quadrata è invertibile se ha determinante diverso da zero, ovvero se ha rango massimo. Calcoliamo quindi il determinante di A sviluppando rispetto alla seconda riga:

det(A) = (2k − 2) · [k(2 − k) − k] = (2k − 2)(−k^{2} + k)

Quindi det(A) = 0 se

2k − 2 = 0 ⇒ k = 1
− k^{2} + k = 0 ⇒ k = 0 o k = 1

Infine A è invertibile se k ≠ 0 e k ≠ 1.

Calcoliamo l’inversa di A quando k = −1 con il metodo dei complementi algebrici. Notiamo che per k = −1 si ha

A = [\begin{matrix}−1 & −2 & −1 \\ 0 & −4 & 0 \\ 1 & −2 & 3 \end{matrix}] det(A) = 8

Inoltre

\begin{matrix}A′_{11} = −12 & A′_{21} = 8 & A′_{31} = −4 \\ A′_{12} = 0 & A′_{22} = −2 & A′_{32} = 0 \\ A′_{13} = 4 & A′_{23} = −4 & A′_{33} = 4 \end{matrix}  ⇒  A^{−1} = [\begin{matrix}−\frac{3}{2} & 1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & −\frac{1}{4} & 0 \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ]

In alternativa possiamo calcolare l’inversa di A quando k = −1 con il metodo della riduzione:

[\begin{matrix}−1 & −2 & −1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & −4 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & −2 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}−I \\ −1/4II \\ III + I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 2 & 1 & | & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & −\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & −4 & 2 & | & 1 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒

III + 4II [\begin{matrix}1 & 2 & 1 & | & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & −\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & 1 & −1 & 1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}I − 2II \\ 1/2III \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 0 & 1 & | & −1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & −\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}]

⇒ I − III [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & −\frac{3}{2} & 1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & −\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ]  ⇒  A^{−1} = [\begin{matrix}−\frac{3}{2} & 1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & −\frac{1}{4} & 0 \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ]

b) Abbiamo visto che se k ≠ 0, 1 la matrice ha determinante non nullo, quindi in questi casi rg(A) = 3.

Inoltre:

– Se k = 0, A diventa

[\begin{matrix}0 & −1 & 0 \\ 0 & −2 & 0 \\ 1 & −1 & 2 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}III \\ 1/2II \\ I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix}] ⇒ III − II [\begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ⇒ rg(A) = 2

– Se k = 1, A diventa

[\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ III − II [\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ⇒ rg(A) = 1

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Esercizio 6.4. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}2 & 2 & k \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3k \end{matrix}] (k reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Si determini il valore di k tale per cui la matrice A abbia determinante uguale a uno. Per tale valore di k, si calcoli la matrice inversa di A.

Soluzione:

a) Ricordiamo che una matrice ha rango massimo, in questo caso 3, se ha determinante diverso da zero.

det(A) = 2 · 6k − 1 · 6k = 6k

Quindi se k ≠ 0 la matrice ha rango 3. Per k = 0 la matrice A diventa:

A = [\begin{matrix}2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ⇒ 2II − I [\begin{matrix}2 & 2 & 0 \\ 0 & −2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

e per k = 0 la matrice ha rango 2.

b) Abbiamo visto che det(A) = 6k, quindi A ha determinante 1 se k = \frac{1}{6}.

Calcoliamo l’inversa di A quando k = \frac{1}{6} con il metodo dei complementi algebrici. Notiamo che

per k = \frac{1}{6} si ha

A = [\begin{matrix}2 & 2 & \frac{1}{6} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}] det(A) = 1

Inoltre

\begin{matrix}A′_{11} = 1 & A′_{21} = −1 & A′_{31} = −\frac{1}{3} \\ A′_{12} = −\frac{1}{2} & A′_{22} = 1 & A′_{32} = \frac{1}{6} \\ A′_{13} = 0 & A′_{23} = 0 & A′_{33} = 2 \end{matrix}  ⇒  A^{−1} = [\begin{matrix}1 & −1 & −\frac{1}{3} \\ −\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}]

Oppure calcoliamo l’inversa con il metodo della riduzione:

[\begin{matrix}2 & 2 & \frac{1}{6} & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}1/2I \\ 2III \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 1 & \frac{1}{12} & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 2 \end{matrix}] ⇒

II − I [\begin{matrix}1 & 1 & \frac{1}{12} & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & −\frac{1}{12} & | & −\frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 2 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}I − 1/12III \\ II + 1/12III \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 1 & 0 & | & \frac{1}{2} & 0 & −\frac{1}{6} \\ 0 & 1 & 0 & | & −\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 2 \end{matrix}]

⇒ I − II [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & 1 & −1 & −\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & | & −\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 2 \end{matrix}]  ⇒  A^{−1} = [\begin{matrix}1 & −1 & −\frac{1}{3} \\ −\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}]
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Esercizio 6.5. Si dica per quali valori di k il sistema di equazioni lineari:

x + y = 1

kx + y + z = 1 − k (k parametro reale)

y + (1 − k)z = 1

ammette un’unica soluzione.

Soluzione: Dal teorema di Rouchè Capelli sappiamo che il sistema ammette una unica soluzione se rg(A) = rg(A|b) = 3. Riduciamo quindi a gradini la matrice A|b associata a tale sistema per calcolarne il rango:

[\begin{matrix}1 & 1 & 0 & | & 1 \\ k & 1 & 1 & | & 1 − k \\ 0 & 1 & 1 − k & | & 1 \end{matrix}] ⇒ II − kI [\begin{matrix}1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 − k & 1 & | & 1 − 2k \\ 0 & 1 & 1 − k & | & 1 \end{matrix}] ⇒

\begin{matrix}III \\ II \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 − k & | & 1 \\ 0 & 1 − k & 1 & | & 1 − 2k \end{matrix}] ⇒ III + (k − 1)II [\begin{matrix}1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 − k & | & 1 \\ 0 & 0 & −k^{2} + 2k & | & −k \end{matrix}]

Il sistema ammette un’unica soluzione se il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa sono entrambi tre. Dalla matrice ridotta questo avviene per k ≠ 0, 2.

Anche se non è richiesto dall’esercizio notiamo che per k = 2 il sistema non ammette soluzione, mentre per k = 0 ne ammette infinite.

In alternativa potevamo calcolare il rango della matrice ragionando sui determinanti:

det(A) = 1 − k − 1 − k(1 − k) = k^{2} − 2k

Quindi se k ≠ 0, 2, la matrice A ha determinante non nullo, quindi rg(A) = rg(A|b) = 3 e il sistema ammette una unica soluzione.

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Esercizio 6.6. Si consideri il sistema lineare

\begin{cases}(1 + k)x = 0 \\ ky + z + w = 2 \\ x + kz + 2w = k \\ x + kw = 0 \end{cases}  (k parametro reale)

a) Si dica per quali valori di k il sistema ammette una unica soluzione.

b) Si determinino tutte le soluzioni del sistema per k = 0.

Soluzione:

La matrice associata a al sistema è

A|b = [\begin{matrix}1 + k & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & k & 1 & 1 & | & 2 \\ 1 & 0 & k & 2 & | & k \\ 1 & 0 & 0 & k & | & 0 \end{matrix}]

a) Il sistema ammette una unica soluzione se rg(A) = rg(A|b) = 4. Utilizzando il determinante, ricordiamo che il rango di una matrice corrisponde al massimo ordine di una sua sottomatrice quadrata con determinante diverso da zero. Quindi rg(A) = rg(A|b) = 4 se e solo se det(A) ≠ 0.

det(A) = (1 + k) · det [\begin{matrix}k & 1 & 1 \\ 0 & k & 2 \\ 0 & 0 & k \end{matrix}] = (1 + k)k^{3}

Quindi il sistema ammette una unica soluzione quando k ≠ 0, −1.

b) Torniamo al sistema nel caso k = 0 (senza la necessità di ridurre la matrice associata):

\begin{cases}x = 0 \\ z + w = 2 \\ x + 2w = 0 \\ x = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 0 \\ y = t \\ z = 2 \\ w = 0 \end{cases} ∀t ∈ R

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Esercizio 6.7. Si consideri il sistema di equazioni lineari:

\begin{cases}kx_{1} − x_{4} = 1 \\ x_{2} + 2x_{3} = 0 \\ (k − 1)x_{1} + (k − 1)x_{2} = k − 1 \\ kx_{1} + kx_{2} = 2k \end{cases}  (k parametro reale)

a) Si dica per quali valori di k il sistema ammette soluzione, specificando se e quando ne ammette una o infinite.

b) Per i valori di k che rendono il sistema compatibile, si determinino le sue soluzioni.

Soluzione: La matrice associata al sistema è

A|b = [\begin{matrix}k & 0 & 0 & −1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 \\ k − 1 & k − 1 & 0 & 0 & | & k − 1 \\ k & k & 0 & 0 & | & 2k \end{matrix}]

a) Utilizziamo il determinante per calcolare rg(A) e rg(A|b).

det(A) = 1 · det [\begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ k − 1 & k − 1 & 0 \\ k & k & 0 \end{matrix}] = 1 · 2 · [k(k − 1) − k(k − 1)] = 0 ∀k ∈ R

Poiché det(A) = 0, rg(A) ≤ 3 per ogni k. Viceversa in A|b troviamo la sottomatrice quadrata

[\begin{matrix}0 & 0 & −1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 0 & | & 0 \\ k − 1 & 0 & 0 & | & k − 1 \\ k & 0 & 0 & | & 2k \end{matrix}]

che ha determinante

det = 1 · det [\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ k − 1 & 0 & k − 1 \\ k & 0 & 2k \end{matrix}] = 1 · (−2)[2k(k − 1) − k(k − 1)] = −2(k^{2} − k)

Tale determinante si annulla per k = 0, 1, quindi sicuramente se k ≠ 0, 1, rg(A|b) = 4.

Abbiamo così ottenuto che se k ≠ 0, 1, rg(A) ≤ 3, mentre rg(A|b) = 4, quindi il sistema non ammette soluzione.

Si tratta ora di considerare i due casi k = 0 e k = 1.

Se k = 0 otteniamo il sistema

A|b = [\begin{matrix}0 & 0 & 0 & −1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 \\ −1 & −1 & 0 & 0 & | & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}−III \\ I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix}]

Quindi se k = 0, rg(A) = rg(A|b) = 3 e il sistema ammette infinite soluzioni.

Se k = 1 otteniamo il sistema

A|b = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & −1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & | & 2 \end{matrix}] ⇒ IV − II − I [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & −1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & −2 & 1 & | & 1 \end{matrix}]

Quindi anche se k = 1, rg(A) = rg(A|b) = 3 e il sistema ammette infinite soluzioni.

b) Abbiamo visto che il sistema ha soluzione solo se k ≠ 0, 1. Inoltre se k = 0 abbiamo ottenuto il sistema

\begin{cases}x_{1} + x_{2} = 1 \\ x_{2} + 2x_{3} = 0 \\ −x_{4} = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x_{1} = 2t + 1 \\ x_{2} = −2t \\ x_{3} = t \\ x_{4} = −1 \end{cases} ∀t ∈ R

Analogamente nel caso k = 1 abbiamo ottenuto il sistema

\begin{cases}x_{1} − x_{4} = 1 \\ x_{2} + 2x_{3} = 0 \\ −2x_{3} + x_{4} = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x_{1} = 2t + 2 \\ x_{2} = −2t \\ x_{3} = t \\ x_{4} = 2t + 1 \end{cases} ∀t ∈ R

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Esercizio 6.8. Si consideri lo spazio vettoriale N(A) dato dalle soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0 con

A = [\begin{matrix}8k + 1 & k + 4 & 0 & k + 8 \\ 2k & 0 & 1 & 2k + 2 \\ 0 & 0 & k + 4 & 0 \\ k & 0 & k + 2 & k + 3 \end{matrix}] k parametro reale.

a) Si stabilisca per quali valori di k lo spazio N(A) è nullo: N(A) = {(0, 0, 0, 0)}.

b) Per i valori di k esclusi al punto precedente si determini una base di N(A).

Soluzione:

a) N(A) è dato dalle soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0. Un sistema omogeneo ammette sempre la soluzione nulla; in particolare, per Rouchè-Capelli, ammette la sola soluzione nulla se rg(A) è massimo. Nel nostro caso quindi N(A) = {(0, 0, 0, 0)} se rg(A) = 4. Determiniamo il rango di A calcolandone il deteminante:

det(A) = −(k + 4) · det [\begin{matrix}2k & 1 & 2k + 2 \\ 0 & k + 4 & 0 \\ k & k + 2 & k + 3 \end{matrix}] = −(k + 4)^{2} · [2k(k + 3) − k(2k + 2)] = −4k(k + 4)^{2}

Infine rg(A) = 4 se det(A) ≠ 0, cioé N(A) = {(0, 0, 0, 0)} se k ≠ 0, −4.

b) Se k = 0 la matrice A diventa

[\begin{matrix}1 & 4 & 0 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 3 \end{matrix}] ⇒ N(A) : \begin{cases}x + 4y + 8w = 0 \\ z + 2w = 0 \\ 4z = 0 \\ 2z + 3w = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = −4t \\ y = t \\ z = 0 \\ w = 0 \end{cases}

⇒ N(A) = {(−4, 1, 0, 0)t | ∀t ∈ R} .

Se k = 0 quindi B(N(A)) = {(−4, 1, 0, 0)} e dim(N(A)) = 1.

Se k = −4 la matrice A diventa

[\begin{matrix}−31 & 0 & 0 & 4 \\ −8 & 0 & 1 & −6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ −4 & 0 & −2 & −1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}31II − 8I \\ 2IV − II \end{matrix} [\begin{matrix}−31 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 31 & −218 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −5 & 4 \end{matrix}] ⇒ 31IV + 5II [\begin{matrix}−31 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 31 & −218 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −966 \end{matrix}]

N(A) : \begin{cases}−31x + 4w = 0 \\ 31z − 218w = 0 \\ w = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \\ w = 0 \end{cases} ⇒ N(A) = \{(0, 1, 0, 0)t | ∀t ∈ R\} .

Se k = −4 quindi B(N(A)) = {(0, 1, 0, 0)} e dim(N(A)) = 1.

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Esercizio 6.9. Determinare per quali valori del parametro reale k i seguenti vettori formano una base di R^{3}.

v_{1} ≡ (1, 2, −2),  v_{2} ≡ (1, 1, −3),  v_{3} ≡ (3, 7, k − 6)

Soluzione: Sappiamo che tre vettori di R^{3} formano una base di R^{3} se e solo se sono linearmente indipendenti, ovvero se la matrice associata ai tre vettori ha rango 3. Riduciamo quindi a gradini la matrice associata:

[\begin{matrix}1 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 7 \\ −2 & −3 & k − 6 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}II − 2I \\ III + II \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 1 & 3 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & −2 & k + 1 \end{matrix}] ⇒ III − 2II [\begin{matrix}1 & 1 & 3 \\ 0 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & k − 1 \end{matrix}]

Ragionando sui ranghi: • Se k ≠ 1 la matrice ha 3 pivot, quindi ha rango 3 e v_{1}, v_{2} e v_{3} formano una base di R^{3}.

• Se k = 1 la matrice ha 2 pivot, quindi ha rango 2 e v_{1}, v_{2} e v_{3} non formano una base di R^{3}.

In alternativa potevamo calcolare il rango utilizzando il determinante:

det(A) = (k − 6 + 21) − (2k − 12 + 14) + 3(−6 + 2) = −k + 1

v_{1}, v_{2} e v_{3} formano una base di R^{3} se la matrice associata ha rango 3, ovvero se ha determinante non nullo, cioè k ≠ 1.

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Esercizio 6.10. Sia V il sottospazio di R^{4} generato dai vettori:

v_{1} ≡ (0, k − 1, k^{2} − 1, 3k − 2),  v_{2} ≡ (1, 3, 0, 3),  v_{3} ≡ (−1, −2, 1, −1).

Determinare la dimensione e una base di V al variare del parametro reale k.

Soluzione: Calcoliamo il rango della matrice A associata a tale insieme di vettori per stabilire se, o quali vettori sono linearmente indipendenti.

A = [\begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ k − 1 & 3 & −2 \\ k^{2} − 1 & 0 & 1 \\ 3k − 2 & 3 & −1 \end{matrix}]

Utilizziamo il determinante. Consideriamo la sottomatrice B formata dalle prime 3 righe:

B = [\begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ k − 1 & 3 & −2 \\ k^{2} − 1 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ det(B) = −(k − 1 + 2k^{2} − 2) − (−3k^{2} + 3) = k^{2} − k

il cui determinante si annulla per k = 0, 1. Quindi:

• Se k ≠ 0, 1 la matrice associata ai tre vettori ha rango 3. Di conseguenza dim(V) = 3 e

B(V) = {v_{1}, v_{2}, v_{3}} = {(0, k − 1, k^{2} − 1, 3k − 2), (1, 3, 0, 3), (−1, −2, 1, −1)} .

• Se k = 0 la matrice A diventa:

[\begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ −1 & 3 & −2 \\ −1 & 0 & 1 \\ −2 & 3 & −1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}III \\ I \end{matrix} [\begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ −1 & 3 & −2 \\ 0 & 1 & −1 \\ −2 & 3 & −1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}II − I \\ IV − 2I \end{matrix} [\begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & −3 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 3 & −3 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}3III − II \\ IV − II \end{matrix} [\begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & −3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Quindi rg(A) = dim(V) = 2. Inoltre

B(V) = { v_{1}, v_{2}} = {(0, −1, −1, −2), (1, 3, 0, 3)}

• Se k = 1 la matrice A diventa:

[\begin{matrix}0 & 1 & −1 \\ 0 & 3 & −2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & −1 \end{matrix}]

Notiamo che A contiene la sottomatrice C:

C = [\begin{matrix}0 & 3 & −2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & −1 \end{matrix}] ⇒ det(C) = 1 · 3 ≠ 0

Quindi anche per k = 1, dim(V) = rg(A) = 3 e

B(V) = {v_{1}, v_{2}, v_{3}} = {(0, 0, 0, 1), (1, 3, 0, 3), (−1, −2, 1, −1)} .
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Esercizio 6.11. Sia W il sottospazio di R^{4} generato dai vettori {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}:

v_{1} = (−1, 1, −1, 1),  v_{2} = (1, k, 3, 4),  v_{3} = (1, −1, k, 1),  v_{4} = (0, 0, 1, k)

Si calcoli la dimensione di W al variare di k ∈ R.

Soluzione: Consideriamo la matrice A associata ai 4 vettori:

A = [\begin{matrix}−1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & k & −1 & 0 \\ −1 & 3 & k & 1 \\ 1 & 4 & 1 & k \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}II + I \\ III − I \\ IV + I \end{matrix} [\begin{matrix}−1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & k + 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & k − 1 & 1 \\ 0 & 5 & 2 & k \end{matrix}]

Chiamiamo A′ la matrice ridotta così ottenuta. Sappiamo che rg(A′) = rg(A). Sappiamo inoltre che il rango di una matrice corrisponde, oltre che al numero di pivot, al massimo ordine di una sottomatrice con determinante non nullo. Senza proseguire ulteriormente nella riduzione possiamo quindi calcolare il determinante della matrice ridotta A′ per calcolarne il rango:

det(A′) = −1 · (k + 1) · [(k − 1)k − 2] = −(k + 1)(k^{2} − k − 2)

e det(A′) = 0 se k = −1 o k = 2. Di conseguenza • Se k ≠ −1, 2, det(A′) ≠ 0, quindi la matrice A ha rango 4, e dim(W) = 4.

• Se k = −1 la matrice A′ ha determinante nullo, quindi rg(A) < 4, e dopo un ulteriore passo di riduzione A diventa

A′ = [\begin{matrix}−1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & −2 & 1 \\ 0 & 5 & 2 & −1 \end{matrix}]

Questa contiene la sottomatrice

[\begin{matrix}−1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & −1 \end{matrix}]

di determinante −1(−2 − 5) ≠ 0.

Quindi A ha rango 3 e dim(W) = 3.

• Se k = 2 la matrice A′ ha determinante nullo, quindi rg(A) < 4, e dopo un ulteriore passo di riduzione diventa

A′ = [\begin{matrix}−1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 2 & 2 \end{matrix}]

Questa contiene la sottomatrice

[\begin{matrix}−1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}]

di determinante −3 ≠ 0.

Quindi anche in questo caso A ha rango 3 e dim(W) = 3. In alternativa tutto l’esercizio poteva essere svolto completando la riduzione a gradini di A.

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Esercizio 6.12. Sia V = ⟨ v_{1}, v_{2}, v_{3} ⟩ con

v_{1} = (k + 3, k + 3, 0),  v_{2} = (0, 3, k + 2),  v_{3} = (0, 3k, k)

a) Si stabilisca per quali valori di k ∈ R lo spazio V coincide con R^{3}.

b) Si determini la dimensione una base di V al variare di k ∈ R.

Soluzione: Consideriamo la matrice A associata ai tre vettori:

A = [\begin{matrix}k + 3 & 0 & 0 \\ k + 3 & 3 & 3k \\ 0 & k + 2 & k \end{matrix}]

a) Lo spazio V coincide con R^{3} se dim(V) = 3, cioè se rg(A) = 3, ovvero det(A) ≠ 0. Calcoliamo quindi il determinante di A che è immediato sviluppando rispetto alla prima riga:

det(A) = (k + 3)[3k − 3k(k + 2)] = 3k(k + 3)(−k − 1)

Quindi se k ≠ 0, −1, −3, i tre vettori sono linearmente indipendenti e V = R^{3}. b) Abbiamo già osservato che se k ≠ 0, −1, −3, i tre vettori sono linearmente indipendenti, quindi

B(V) = {v_{1}, v_{2}, v_{3}}. Inoltre:

– Se k = 0 la matrice A diventa:

A = [\begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}] ⇒ II − I [\begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}] ⇒ 3III − 2II [\begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Quindi dim(V) = 2 e B(V) = {v_{1}, v_{2}}.

– Se k = −1 la matrice A diventa:

A = [\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & −3 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix}] ⇒ II − I [\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & −3 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix}] ⇒ 3III − II [\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & −3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Quindi dim(V) = 2 e una possibile base è B(V) = {v_{1}, v_{2}}.

– Se k = −3 la matrice A diventa:

A = [\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & −9 \\ 0 & −1 & −3 \end{matrix}] ⇒ 3III + II [\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & −9 \\ 0 & 0 & −18 \end{matrix}]

Quindi dim(V) = 2 e B(V) = {v_{2}, v_{3}}.
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Esercizio 6.13. Si consideri l’insieme

S = { (k + 1, k + 1, 0, 2k), (0, 2k, 0, 0), (1, 3k, 0, 1), (1, 5k, 1, k) } .

a) Si stabilisca per quali valori di k l’insieme S è una base di R^{4}.

b) Posto k = −1 si trovino le coordinate del vettore v = (1, 1, 0, 1) rispetto alla base trovata.

Soluzione:

a) Calcoliamo il determinante della matrice associata ai quattro vettori

det [\begin{matrix}k + 1 & 0 & 1 & 1 \\ k + 1 & 2k & 3k & 5k \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2k & 0 & 1 & k \end{matrix}] = 2k · det [\begin{matrix}k + 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2k & 1 & k \end{matrix}]

= 2k · (−1) · det [\begin{matrix}k + 1 & 1 \\ 2k & 1 \end{matrix}] = −2k(−k + 1)

Se k ≠ 0, 1 la matrice ha determinante diverso da zero, quindi rango 4 e i vettori formano una base di R^{4}.

b) Riduciamo a gradini la matrice associata all’equazione xv_{1} + yv_{2} + zv_{3} + wv_{4} = v dove v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4} sono i vettori della base dopo avere posto k = −1:

[\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & −2 & −3 & −5 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ −2 & 0 & 1 & −1 & | & 1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}IV \\ I \\ II \end{matrix} [\begin{matrix}−2 & 0 & 1 & −1 & | & 1 \\ 0 & −2 & −3 & −5 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{matrix}] ⇒

\begin{cases}−2x + z − w = 1 \\ −2y − 3z − 5w = 1 \\ z + w = 1 \\ w = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 0 \\ y = −2 \\ z = 1 \\ w = 0 \end{cases}

Infine le coordinate di v rispetto alla base trovata sono

v = (0, −2, 1, 0)_{S}
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Esercizio 6.14. Sia

B = { (−2, 0, 0), (1, k, −1), (1, −1, k) }

a) Trovare i valori del parametro k per cui B è una base di R^{3}.

b) Per il valore k = 3, determinare le coordinate dei vettori v = (−3, 2, 1) e w = (0, 1, 2) rispetto alla base B.

Soluzione:

a) Pochè si tratta di 3 vettori di R^{3}, l’insieme B è una base sse i tre vettori che lo costituiscono sono linearmente indipendenti, cioè se la matrice associata ha rango 3. Riduciamo A a gradini:

[\begin{matrix}−2 & 1 & 1 \\ 0 & k & −1 \\ 0 & −1 & k \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}III \\ II \end{matrix} [\begin{matrix}−2 & 1 & 1 \\ 0 & −1 & k \\ 0 & k & −1 \end{matrix}] ⇒ III + kII [\begin{matrix}−2 & 1 & 1 \\ 0 & −1 & k \\ 0 & 0 & −1 + k^{2} \end{matrix}]

La matrice ha rango 3 se k ≠ ±1, quindi B è una base di R^{3} per k ≠ ±1.

In alternativa potevamo calcolare il determinante della matrice A

det(A) = −2(k^{2} − 1)

Poichè il determinante di A si annulla per k = 1 e per k = −1, la matrice A ha rango 3, cioè B è una base di R^{3}, per k ≠ ±1.

b) Chiamiamo v_{1}, v_{2} e v_{3} i 3 vettori di B:

v_{1} = (−2, 0, 0), v_{2} = (1, k, −1), v_{3} = (1, −1, k)

Se B = {v_{1}, _{2}, v_{3}} è una base di R^{3}, le coordinate di un vettore v di R^{3} rispetto a B corrispondono ai coefficienti della combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3} con cui esprimiamo v:

xv_{1} + yv_{2} + zv_{3} = v ⇒ v = (x, y, z)_{B}

Si tratta quindi di esprimere v e w come combinazione lineare degli elementi di B, cioè di risolvere le due equazioni vettoriali

xv_{1} + yv_{2} + zv_{3} = v  e  xv_{1} + yv_{2} + zv_{3} = w

Per comodità riduciamo a gradini la matrice A affiancata dalle due colonne dei termini noti formate dalle componenti di v e w rispettivamente.

[\begin{matrix}−2 & 1 & 1 & | & −3 & 0 \\ 0 & 3 & −1 & | & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 3 & | & 1 & 2 \end{matrix}] ⇒ 3III + II [\begin{matrix}−2 & 1 & 1 & | & −3 & 0 \\ 0 & 3 & −1 & | & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 8 & | & 5 & 7 \end{matrix}]

Per determinare le coordinate di v rispetto a B risolviamo il sistema relativo alla prima delle due colonne dei termini noti:

[\begin{matrix}−2 & 1 & 1 & | & −3 \\ 0 & 3 & −1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 8 & | & 5 \end{matrix}] ⇒ \begin{cases}−2x + y + z = −3 \\ 3y − z = 2 \\ 8z = 5 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = \frac{9}{4} \\ y = \frac{7}{8} \\ z = \frac{5}{8} \end{cases}

Quindi v ha coordinate (\frac{9}{4}, \frac{7}{8}, \frac{5}{8})_{B} rispetto alla base B.

Per determinare le coordinate di w rispetto a B risolviamo il sistema relativo alla seconda delle due colonne dei termini noti:

[\begin{matrix}−2 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 3 & −1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 8 & | & 7 \end{matrix}] ⇒ \begin{cases}−2x + y + z = 0 \\ 3y − z = 1 \\ 8z = 7 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = \frac{3}{4} \\ y = \frac{5}{8} \\ z = \frac{7}{8} \end{cases}

Quindi w ha coordinate (\frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8})_{B} rispetto alla base B.

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Esercizio 6.15. Si consideri il sottoinsieme S di R^{4} costituito dai vettori v della forma

v = (a_{1} − a_{2} + 2a_{3} + a_{4}, a_{1}, 2a_{1} − a_{2}, a_{1} + 3a_{2})

dove a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4} sono parametri reali.

a) S è un sottospazio vettoriale di R^{4}?

b) In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.

Soluzione: Notiamo che

v = a_{1}(1, 1, 2, 1) + a_{2}(−1, 0, −1, 3) + a_{3}(2, 0, 0, 0) + a_{4}(1, 0, 0, 0)

Siano

v_{1} = (1, 1, 2, 1),  v_{2} = (−1, 0, −1, 3),  v_{3} = (2, 0, 0, 0),  v_{4} = (1, 0, 0, 0)

a) S è l’insieme delle combinazioni lineari di v_{1}, v_{2}, v_{3} e v_{4}, quindi

S = ⟨v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}⟩

e si tratta di uno spazio vettoriale (sottospazio di R^{4}).

b) Consideriamo la matrice associata a v_{1}, v_{2}, v_{3} e v_{4}:

A = [\begin{matrix}1 & −1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & −1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}II − I \\ III − 2I \\ IV − I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & −1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & −2 & −1 \\ 0 & 1 & −4 & −2 \\ 0 & 4 & −2 & −1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}III − II \\ IV − 4II \end{matrix} [\begin{matrix}1 & −1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & −2 & −1 \\ 0 & 0 & −2 & −1 \\ 0 & 0 & 6 & 3 \end{matrix}]

⇒ IV + 3III [\begin{matrix}1 & −1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & −2 & −1 \\ 0 & 0 & −2 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

La matrice ha rango 3 e una base di S è data da {v_{1}, v_{2}, v_{3}}.

Notiamo che potevamo osservare dall’inizio che v_{3} e v_{4} sono linearmente dipendenti tra loro, quindi una base può contenerne solo uno dei due; di conseguenza nella ricerca della base potevamo considerare dall’inizio solo i vettori v_{1}, v_{2} e v_{3} per verificare se sono linearmente indipendenti.

In alternativa si può utilizzare il determinante. det(A) = 0, quindi i quattro vettori sono linearmente dipendenti e non possono formare una base di S. Osservando che v_{3} e v_{4} sono linearmente dipendenti consideriamo la matrice formata da v_{1}, v_{2} e v_{3}:

B = [\begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & −1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \end{matrix}]

Il determinante della matrice quadrata B′ formata dalle prime tre righe è

det(B′) = −2 · (−1) = 2 ≠ 0

quindi rg(B′) = 3 e v_{1}, v_{2} e v_{3} sono linearmente indipendenti. Di conseguenza una base di S è l’insieme B(S) = {v_{1}, v_{2}, v_{3}}.

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