CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

FOGLIO DI ESERCIZI 9– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11

Esercizio 9.1. [v.8.37] Sia T la funzione lineare da R^{3} a R^{3} definita da

T (x, y, z) = (3x − 2y, x + y + z, 2x − 3y − z)

a) Determinare basi dell’immagine Im(T) e del nucleo N(T).

b) Si scriva la matrice associata a T rispetto alla base B = ((2, 1, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 1)).

Esercizio 9.2. [8.40] Sia T : R^{2} → R^{3} l’applicazione definita da T (x, y) = (2x, x − y, 2y), e siano B = ((1, 0), (1, 1) ) e B′ = ((1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 2)) due basi di R^{2} e R^{3} rispettivamente. Determinare la matrice A = M_{B}^{B′}(T) associata a T rispetto alle basi B e B′.

Esercizio 9.3. [8.44] Sia S : R^{3} → R^{3}la funzione lineare associata a:

[\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}]

rispetto alla base ((1, 1, 1), (0, 2, 2), (0, 0, 3)) di R^{3}.

a) Si scriva la matrice associata a S rispetto alle basi canoniche.

b) Determinare basi dell’immagine Im(S) e del nucleo N(S).

Esercizio 9.4. [8.18] Sia T : R^{3} → R^{3} l’applicazione lineare definita da

T (x, y, z) = (2x, y, 0)

(1) Dato il vettore w = (2, −1, 1), calcolare T (w).

(2) Determinare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica.

(3) Calcolare T (w) utilizzando la matrice A.

(4) Determinare la dimensione e una base degli spazi vettoriali Im(T) e N(T).

(5) Verificare che l’insieme B = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) con v_{1} = (1, 0, 1), v_{2} = (0, 1, −1), v_{3} = (1, 1, −1) è una base di R^{3}.

(6) Determinare la matrice B associata a T rispetto alla base B dello spazio di partenza e alla base canonica E dello spazio di arrivo, cioè M_{B}^{E}

(7) Determinare le componenti del vettore w = (2, −1, 1) rispetto alla base B.

(8) Calcolare T (w) utilizzando la matrice B.

Esercizio 9.5. [8.36] Sia S : R^{4} → R^{3} la funzione lineare

S(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (3x_{1} − 2x_{3} + x_{4}, 4x_{1} − 2x_{2} + 2x_{3} + 3x_{4}, x_{1} + 2x_{3} + 2x_{4}).

a) Si trovi una base del nucleo di S e una base dell’immagine di S.

b) Sia E la base canonica di R^{4} e sia B la base di R^{3} costituita dai vettori

v_{1} = (1, 0, 1), v_{2} = (1, 0, 0), v_{3} = (1, 1, 1)

Si determini la matrice M_{E}^{B}(S) associata a S.

Esercizio 9.6. [8.35] Sia T : R^{3} → R^{3} la funzione lineare definita da

T (x, y, z) = (x + y, 2x − y − z, 2y + z)

e sia B = ((1, 2, −4), (0, 1, 1), (1, 0, −7)) una base di R^{3}.

a) Stabilire se T è iniettiva e/o suriettiva.

b) Si determini la matrice M_{B}^{E}(T) associata a T rispetto alla base B e alla base canonica E.

c) Si determini la matrice M_{E}^{B}(T) associata a T rispetto alla base B e alla base canonica E.

d) Si determini la matrice M_{B}^{B}(T) associata a T rispetto alla base B.

Esercizio 9.7. [9.1] Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell’applicazione lineare T così definita

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (2x_{1} − 2x_{3}, −x_{1} + 2x_{2} + x_{3} + x_{4}, x_{3}, x_{1} − 2x_{3} + x_{4})

Determinare inoltre il relativo autovalore.

Esercizio 9.8. [9.6] Date le matrici

A = [\begin{matrix}−1 & 1 \\ 0 & −1 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}−1 & 2 \\ −3 & 1 \end{matrix}]  C = [\begin{matrix}−3 & 4 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

a) Si determini il polinomio caratteristico di ciascuna matrice.

b) Si determinino gli autovalori, e i relativi autospazi, di ciascuna matrice.

c) Si stabilisca se le matrici sono diagonalizzabili.

Esercizio 9.9. [9.7] Date le matrici

A = [\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}−3 & 1 & −1 \\ −7 & 5 & −1 \\ −6 & 6 & −2 \end{matrix}]  C = [\begin{matrix}1 & −3 & 3 \\ 3 & −5 & 3 \\ 6 & −6 & 4 \end{matrix}]

a) Si determini il polinomio caratteristico di ciascuna matrice.

b) Si determinino gli autovalori, e i relativi autospazi, di ciascuna matrice.

c) Si stabilisca se le matrici sono diagonalizzabili.