CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

FOGLIO DI ESERCIZI 6– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11

Esercizio 6.1. [6.3] Calcolare il rango della seguente matrice A, utilizzando il calcolo del determinante.

A = [\begin{matrix}1 & k + 2 & 0 \\ k^{2} − 1 & 0 & 4 − k \\ 1 & 2k − 3 & 0 \end{matrix}] k ∈ R

Esercizio 6.2. [6.5] Dopo avere stabilito se le seguenti matrici sono invertibili calcolarne l’inversa:

A_{1} = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}]  A_{2} = [\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]  A_{3} = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}]

A_{4} = [\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}]  A_{5} = [\begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}]  A_{6} = [\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix}]

Esercizio 6.3. [6.6] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}]

a) Calcolare il determinante di A e stabilire per quali valori di k la matrice è invertibile.

b) Trovare la matrice inversa di A per k = 1.

Esercizio 6.4. [6.7] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}k & k − 1 & k \\ 0 & 2k − 2 & 0 \\ 1 & k − 1 & 2 − k \end{matrix}] (k reale).

a) Si determini per quali valori di k la matrice A è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k = −1.

b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

Esercizio 6.5. [7.5] Si dica per quali valori di k il sistema di equazioni lineari:

x + y = 1

kx + y + z = 1 − k (k parametro reale) y + (1 − k)z = 1

ammette un’unica soluzione.

Esercizio 6.6. [7.13] Si consideri il sistema lineare

\begin{cases}(1 + k)x = 0 \\ ky + z + w = 2 \\ x + kz + 2w = k \\ x + kw = 0 \end{cases}  (k parametro reale)

a) Si dica per quali valori di k il sistema ammette una unica soluzione.

b) Si determinino tutte le soluzioni del sistema per k = 0.

Esercizio 6.7. [7.19] Si consideri lo spazio vettoriale N(A) dato dalle soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0 con

A = [\begin{matrix}8k + 1 & k + 4 & 0 & k + 8 \\ 2k & 0 & 1 & 2k + 2 \\ 0 & 0 & k + 4 & 0 \\ k & 0 & k + 2 & k + 3 \end{matrix}] k parametro reale.

a) Si stabilisca per quali valori di k lo spazio N(A) è nullo: N(A) = {(0, 0, 0, 0)}.

b) Per i valori di k esclusi al punto precedente si determini una base di N(A).

2 FOGLIO DI ESERCIZI 6 – GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11

Esercizio 6.8. [7.24] Determinare per quali valori del parametro reale k i seguenti vettori formano una base di R^{3}.

v_{1} ≡ (1, 2, −2), v_{2} ≡ (1, 1, −3), v_{3} ≡ (3, 7, k − 6)

Esercizio 6.9. [7.41] Si consideri l’insieme

S = { (k + 1, k + 1, 0, 2k), (0, 2k, 0, 0), (1, 3k, 0, 1), (1, 5k, 1, k) } .

a) Si stabilisca per quali valori di k l’insieme S è una base di R^{4}.

b) Posto k = −1 si trovino le coordinate del vettore v = (1, 1, 0, 1) rispetto alla base trovata.