CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA

DIAGONALIZZAZIONE DI MATRICI E ENDOMORFISMI – GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11

Sia T : R^{n} → R^{n} una applicazione lineare (endomorfismo) e M la matrice associata a T rispetto a una base B di R^{n}. Parleremo quindi indifferentemente di T e M.

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Il Polinomio caratteristico di M é il polinomio

p_{M}(λ) = det (M − λI)

Notiamo che p_{M}(λ) è un polinomio di grado n nell’incognita λ. ——————————————————————————————————————————————-

Un Autovalore di M è un numero λ per cui esiste un vettore v ∈ R^{n} non nullo tale che

Mv = λv

Osservazioni:

• Se λ é un autovalore di M allora per qualche v ≠ 0:

Mv = λv ⇒ (M − λI) v = 0 ⇒ det (M − λI) = 0

quindi gli autovalori di M sono gli zeri del polinomio caratteristico, ovvero si determinano risolvendo

det (M − λI) = 0

• La molteplicità di λ come zero del polinomio caratteristico è detta molteplicità algebrica

dell’autovalore λ. ——————————————————————————————————————————————-

Un Autovettore relativo a un autovalore λ è un vettore v (e sicuramente ne esistono non nulli) tale che

Mv = λv ⇒ (M − λI) v = 0

Quindi v è soluzione del sistema omogeneo associato a M − λI.

Osservazioni:

• L’insieme degli autovettori relativi ad un autovalore λ formano uno spazio vettoriale (sottospazio di R^{n}), detto Autospazio relativo all’autovalore λ:

E(λ) = { autovettori relativi a λ }

• Chiamiamo Molteplicità geometrica di λ la dimensione di E(λ).

• Gli autovettori relativi all’autovalore λ = 0 formano il nucleo di M, ovvero le soluzioni del sistema omogeneo associato a M: E(0) = ker(M).

• Per quanto riguarda la dimensione di E(λ) abbiamo che

1 ≤ dim (E(λ)) ≤ molteplicità algebrica di λ

In particolare se un autovalore é singolo, allora il relativo autospazio ha sicuramente dimensione 1.

• Autovettori di autospazi distiniti sono linearmente indipendenti.

• Poichè gli endomorfismi sono applicazioni di uno spazio in se stesso, la base dello spazio di arrivo e di partenza è sempre la stessa (a differenza di quanto poteva accadere negli esercizi del capitolo precedente).

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Diagonalizzabilità.

Una matrice M, n × n, è Diagonalizzabile se è simile a una matrice diagonale D, ovvero esiste una matrice P, detta matrice diagonalizzante, tale che P^{−1}MP = D è una matrice diagonale.

Osservazioni:

• Poiché P^{−1}MP = D, le matrici M e D sono simili.

• La matrice diagonalizzante P ha per colonne autovettori linearmente indipendenti di M.

• P^{−1}MP = D ha sulla diagonale gli autovalori di M.

• Una matrice M, n × n, è Diagonalizzabile se la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori è n, ovvero se la somma delle dimensioni dei suoi autospazi è n, ovvero se ha n autovettori linearmente indipendenti.

• Condizione necessaria perchè una matrice sia diagonalizzabile è che la molteplicità algebrica e geometrica dei suoi autovalori coincidano.

• Se M ha n autovalori distinti allora è sicuramente diagonalizzabile (infatti ha sicuramente n autospazi di dimensione 1).

• Se una matrice M è diagonalizzabile allora esiste una base di R^{n} formata da autovettori di M. La diagonalizzazione sottintende infatti un cambiamento di base in R^{n}.

• Due matrici diagonalizzabili sono associate allo stesso endomorfismo (rispetto a basi differenti) se sono simili alla stessa matrice diagonale (ovvero hanno gli stessi autovalori). Analogamente se solamente una delle due matrici è diagonalizzabile allora non possono essere associate allo stesso endomorfismo.

• Le matrici e gli endomorfismi simmetrici godono di particolari proprietà.