CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.

FOGLIO DI ESERCIZI 7– GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11

Esercizio 7.1 (7.36). Sia V = ⟨ v_{1}, v_{2}, v_{3} ⟩ con

v_{1} = (k + 3, k + 3, 0),  v_{2} = (0, 3, k + 2),  v_{3} = (0, 3k, k)

a) Si stabilisca per quali valori di k ∈ R lo spazio V coincide con R^{3}.

b) Si determini la dimensione una base di V al variare di k ∈ R.

Soluzione: Consideriamo la matrice A associata ai tre vettori:

A = [\begin{matrix}k + 3 & 0 & 0 \\ k + 3 & 3 & 3k \\ 0 & k + 2 & k \end{matrix}]

a) Lo spazio V coincide con R^{3} se dim(V) = 3, cioè se rg(A) = 3, ovvero det(A) ≠ 0. Calcoliamo quindi il determinante di A che è immediato sviluppando rispetto alla prima riga:

det(A) = (k + 3)[3k − 3k(k + 2)] = 3k(k + 3)(−k − 1)

Quindi se k ≠ 0, −1, −3, i tre vettori sono linearmente indipendenti e V = R^{3}.

b) Abbiamo già osservato che se k ≠ 0, −1, −3, i tre vettori sono linearmente indipendenti, quindi

B(V) = {v_{1}, v_{2}, v_{3}}. Inoltre:

– Se k = 0 la matrice A diventa:

A = [\begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}] ⇒ II − I [\begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}] ⇒ 3III − 2II [\begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Quindi dim(V) = 2 e B(V) = {v_{1}, v_{2}}.

– Se k = −1 la matrice A diventa:

A = [\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & −3 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix}] ⇒ II − I [\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & −3 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix}] ⇒ 3III − II [\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & −3 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Quindi dim(V) = 2 e una possibile base è B(V) = {v_{1}, v_{2}}.

– Se k = −3 la matrice A diventa:

A = [\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & −9 \\ 0 & −1 & −3 \end{matrix}] ⇒ 3III + II [\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & −9 \\ 0 & 0 & −18 \end{matrix}]

Quindi dim(V) = 2 e B(V) = {v_{2}, v_{3}}.
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Esercizio 7.2 (7.50). Siano U e V i sottospazi di R^{3} così definiti

U = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x + z = 0}
V = ⟨(2, −1, −2), (−3, 4, 3)⟩

Dimostrare che U = V.

Soluzione: U e V sono due sottospazi di R^{3}. Per dimostrare che U = V, dobbiamo dimostrare che dim(U) = dim(V) e che U ⊆ V oppure che V ⊆ U.

Cominciamo ad esplicitare U:

x + z = 0 ⇒ \begin{cases}x = −t \\ y = s \\ z = t \end{cases} ⇒ U = \{(−t, s, t) | s, t ∈ R\}

B(U) = {u_{1} = (−1, 0, 1), u_{2} = (0, 1, 0)} dim(U) = 2

Analogamente determiniamo una base di V stabilendo se i due generatori sono linearmente indipendenti. Senza la necessità di fare calcoli notiamo che i due generatori non sono uno multiplo dell’altro, quindi sono linearmente indipendenti:

B(V) = {v_{1} = (2, −1, −2), v_{2} = (−3, 4, 3)}, dim(V) = 2

Abbiamo quindi ottenuto che dim(U) = dim(V) = 2.

In questo caso è probabilmente più semplice verificare che V ⊆ U. Infatti abbiamo per U una doppia definizione:

U = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x + z = 0} = ⟨ (−1, 0, 1), (0, 1, 0) ⟩

Utilzzando la prima definizione è immediato verificare che i due generatori v_{1} e v_{2} di V appartengono a U, infatti entrambi sono vettori di R^{3} che verificano la condizione x + z = 0. Otteniamo quindi:

v_{1} ∈ U e v_{2} ∈ U ⇒ V = ⟨v_{1}, v_{2}⟩ ⊆ U.

Infine abbiamo dimostrato che V è un sottospazio di U della stessa dimensione di U, quindi U e V coincidono.

In alternativa per dimostrare che U ⊆ V avremmo dovuto considerare la matrice formata da v_{1}, v_{2}, u_{1}, u_{2} come colonne. Tale matrice ha rango 2, quindi u_{1} e u_{2} sono linearmente dipendenti da v_{1} e v_{2} e U ⊆ V.

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Esercizio 7.3 (7.64).

a) Sia

V = ⟨ (1, 2, 1), (−1, 3, 0), (3, 1, 2) ⟩

Si determini la dimensione e una base di V.

b) Sia

S = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x − y + 3z = 0, 2x + 3y + z = 0, x + 2z = 0 }

Si determini la dimensione e una base di S.

c) Si confrontino i metodi risolutivi e i risultati dei due precedenti punti.

Soluzione:

a) Calcoliamo il rango della matrice A associata ai tre vettori riducendola a gradini:

[\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}II − 2I \\ III − I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 0 & 5 & −5 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}1/5II \\ III − 5II \end{matrix} [\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Quindi

dim(V) = rg(A) = 2
B(V) = { (1, 2, 1), (−1, 3, 0) }

b) Associamo al sistema omogeneo

\begin{cases}x − y + 3z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \\ x + 2z = 0 \end{cases}

la matrice

[\begin{matrix}1 & −1 & 3 & | & 0 \\ 2 & 3 & 1 & | & 0 \\ 1 & 0 & 2 & | & 0 \end{matrix}] ⇒ ⋯ ⇒ [\begin{matrix}1 & −1 & 3 & | & 0 \\ 0 & 1 & −1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix}]

Notiamo che i conti sono già stati eseguiti al punto precedente. Quindi

\begin{cases}x − y + 3z = 0 \\ x − z = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = −2t \\ y = t \\ z = t \end{cases} ∀t ∈ R

e

dim(S) = 1
B(S) = { (−2, 1, 1) }

c) Notiamo che con la stessa matrice abbaimo risolto due esercizi differenti tra cui in genere è facile confondersi. La relazione tra i due esercizi, oltre alla medesima riduzione della matrice, è solo legata alle dimensioni:

dim(V) = rg(A)

dim(S) = numero delle incognite − rg(A)

dim(V) + dim(S) = numero delle incognite

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Esercizio 7.4 (7.66). Dati i vettori linearmente indipendenti v_{1} = (3, 0, 1) e v_{2} = (1, 4, −2) completare l’insieme S = {v_{1}, v_{2}} in modo da ottenere una base di R^{3}.

Soluzione: Si può completare la base utilizzando uno dei vettori canonici. Si tratta quindi di affiancare a v_{1} e v_{2} i tre vettori canonici di R^{3}, per verificare quale di questi forma assieme a v_{1} e v_{2} un insieme linearmente indipendente. Riduciamo quindi a gradini la matrice

[\begin{matrix}3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & −2 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ 3III − I [\begin{matrix}3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & −7 & −1 & 0 & 3 \end{matrix}] ⇒ 4III + 7II [\begin{matrix}3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −4 & 7 & 12 \end{matrix}]

Di conseguenza qualsiasi dei vettori della base canonica forma con v_{1} e v_{2} una matrice di rango 3, ovvero un insieme linearmente indipendente. Possiamo prendere per esempio

B = {(3, 0, 1), (1, 4, 2), (1, 0, 0) }
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Esercizio 7.5 (7.67). Siano

v_{1} = (1, −1, −1, 1), v_{2} = (k, 1, 1, −1) ∈ R^{4}

a) Si trovino i valori del parametro k per i quali v_{1} e v_{2} sono indipendenti.

b) Per k = 2, si estenda l’insieme {v_{1}, v_{2}} a una base di R^{4}.

Soluzione:

Per rispondere ad entrambe le domande riduciamo a gradini la matrice costituita da v_{1} e v_{2} e dai quattro vettori della base canonica di R^{4}:

[\begin{matrix}1 & k & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & −1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}II + I \\ III − II \\ IV + III \end{matrix} [\begin{matrix}1 & k & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & k + 1 & | & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & | & 0 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}]

a) I due vettori v_{1} e v_{2} sono indipendenti quando la matrice ad essi associata ha rango 2. Di conseguenza v_{1} e v_{2} sono indipendenti se k ≠ −1.

b) Ponendo k = 2 nella matrice ridotta otteniamo

[\begin{matrix}1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & | & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & | & 0 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}]

Una base di R^{4} deve essere formata da quattro vettori. Dalla matrice notiamo che se aggiungiamo alle prime due colonne, corrispondenti a v_{1} e v_{2}, la quarta e quinta colonna (per esempio) otteniamo una matrice di rango quattro. Quindi i quattro vettori corrispondenti sono linearmente indipendenti e una base di R^{4} è data dall’insieme:

{ v_{1}, v_{2}, (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) }
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Esercizio 7.6 (7.68). Si consideri l’insieme S costituito dai seguenti vettori di R^{4}

v_{1} = (1, 2, 2, 1),  v_{2} = (2, 1, 2, 1),  v_{3} = (0, 1, 2, 1)

a) E’ possibile estendere S a una base di R^{4}?

b) In caso affermativo, trovare una base di R^{4} contenente S.

Soluzione: Per rispondere ad entrambi i quesiti riduciamo a gradini la matrice ottenuta dalla matrice associata ai 3 vettori, affiancata dalla matrice associata ai vettori della base canonica di R^{4}:

[\begin{matrix}1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}II − 2I \\ III − II \\ IV − I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −3 & 1 & | & −2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 1 & | & −1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒

\begin{matrix}3III + II \\ IV + III \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −3 & 1 & | & −2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & | & −2 & −2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & −1 & −1 & 1 & 1 \end{matrix}] ⇒ 2IV − III [\begin{matrix}1 & 2 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −3 & 1 & | & −2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & | & −2 & −2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 & 0 & −1 & 2 \end{matrix}]

a) La matrice associata ai vettori v_{1}, v_{2} e v_{3} ha rango 3, quindi i vettori sono linearmente indipendenti e S può essere esteso a una base di R^{4}.

b) Dalla matrice completa vediamo che la prima, seconda, terza e sesta colonna sono linearmente indipendenti, quindi una base B di R^{4} contenente S è data da

B = { v_{1}, v_{2}, v_{3}, e_{3} = (0, 0, 1, 0) }
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Esercizio 7.7 (7.70). Sia dato l’insieme

V = {p(x) ∈ R_{3}[x] | p(1) = 0 }

a) Verificare che l’insieme V è un sottospazio vettoriale di R_{3}[x].

b) Determinare una base di V.

Soluzione: Sia p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3}, a_{i} ∈ R il generico elemento di R_{3}[x]. A p(x) possiamo associare le sue componenti (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) rispetto alla base canonica di R_{3}[x] formata dai polinomi {1, x, x^{2}, x^{3}}. Quindi a ogni polinomio p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} ∈ R_{3}[x] possiamo associare il vettore (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) ∈ R^{4}.

Nel nostro caso la condizione p(1) = 0 si traduce nella condizione a_{0} +a_{1} +a_{2} +a_{3} = 0, quindi all’insieme di polinomi V corrisponde l’insieme:

W = {(a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) ∈ R^{4} | a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = 0}

cioè l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo formato dalla sola equazione a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = 0.

a) L’insieme W, e quindi l’insieme V, è uno spazio vettoriale in quanto si tratta dell’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo.

b) Per trovare una base di V determiniamo una base di W per poi tornare ai polinomi.

a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} = 0 ⇒ \begin{cases}a_{0} = −r − s − t \\ a_{1} = r \\ a_{2} = s \\ a_{3} = t \end{cases} ∀r, s, t ∈ R

Quindi il generico elemento di W ha la forma

(−1, 1, 0, 0) · r + (−1, 0, 1, 0) · s + (−1, 0, 0, 1) · t

e una base di W è data dall’insieme

B(W) = {(−1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)}

Associamo ora ai vettori determinati i corrispondenti polinomi:

(−1, 1, 0, 0) ⇒ p_{1}(x) = −1 + x
(−1, 0, 1, 0) ⇒ p_{2}(x) = −1 + x^{2}
(−1, 0, 0, 1) ⇒ p_{3}(x) = −1 + x^{3}

Infine l’insieme

B(V) = {p_{1}(x) = −1 + x, p_{2}(x) = −1 + x^{2}, p_{3}(x) = −1 + x^{3}}

è una base di V.

□

Esercizio 7.8 (7.71). Siano dati i polinomi

p_{1}(x) = 1 + x,  p_{2}(x) = 1 + 2x + x^{2},  p_{3}(x) = x − x^{2}.
a) Verificare che l’insieme {p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x)} è una base di R_{2}[x].
b) Esprimere f(x) = x^{2} − x + 2 come combinazione lineare di p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x).

Soluzione:

Ricordiamo che a ogni polinomio di R_{2}[x] possiamo associare le sue componenti (a_{0}, a_{1}, a_{2}) rispetto alla base canonica B = {x^{2}, x, 1}. Di conseguenza ai polinomi p_{1}, p_{2} e p_{3} possiamo associamo i tre vettori

p_{1} = (0, 1, 1)
p_{2} = (1, 2, 1)
p_{3} = (−1, 1, 0)

Quindi i polinomi p_{1}, p_{2} e p_{3} formano una base di R_{2}[x] sse i tre vettori p_{1}, p_{2} e p_{3} formano una base di R^{3}. In particolare R_{2}[x] ha dimensione 3, ed è sufficiente verificare che i tre vettori siano linearmente indipendenti.

Inoltre al polinomio f(x) associamo il vettore f(1, −1, 2)

Per rispondere ad entrambe le domande riduciamo a gradini la matrice associata ai quattro vettori.

[\begin{matrix}0 & 1 & −1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 1 & | & −1 \\ 1 & 1 & 0 & | & 2 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}III \\ I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 1 & 0 & | & 2 \\ 1 & 2 & 1 & | & −1 \\ 0 & 1 & −1 & | & 1 \end{matrix}]

⇒ II − I [\begin{matrix}1 & 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & 1 & | & −3 \\ 0 & 1 & −1 & | & 1 \end{matrix}] ⇒ III − II [\begin{matrix}1 & 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & 1 & | & −3 \\ 0 & 0 & −2 & | & 4 \end{matrix}]

a) La matrice dei coefficienti, associata a p_{1}, p_{2} e p_{3}, ha rango 3, quindi i tre polinomi sono linearmente indipendenti e formano una base di R_{2}[x].

b) Torniamo al sistema associato ai quattro vettori:

⇒ \begin{cases}x_{1} + x_{2} = 2 \\ x_{2} + x_{3} = −3 \\ −2x_{3} = 4 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x_{1} = 3 \\ x_{2} = −1 \\ x_{3} = −2 \end{cases}

Quindi

f(x) = 3 · p_{1}(x) − 1 · p_{2}(x) − 2 · p_{3}(x)
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Esercizio 7.9 (7.72). Si considerino i polinomi p_{1} = x^{2}+ax+b+c, p_{2} = x^{2}+bx+a+c, p_{3} = x^{2}+cx+a+b.

a) Mostrare che per ogni valore dei parametri a, b, c i tre polinomi sono dipendenti nello spazio dei polinomi R[x].

b) Calcolare la dimensione e una base dello spazio ⟨p_{1}, p_{2}, p_{3}⟩ ⊆ R[x] al variare di a, b, c.

Soluzione: Associamo ad ogni polinomio il vattore che esprime le sue componenti rispetto alla base canonica {x^{2}, x, 1} di R[x]:

p_{1} = (1, a, b + c),  p_{2} = (1, b, a + c),  p_{3} = (1, c, a + b)

Possiamo quindi svolgere l’esercizio lavorando sui tre vettori.

Consideriamo la matrice associata ai tre vettori:

[\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ b + c & a + c & a + b \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}II − aI \\ III − (b + c)I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & b − a & c − a \\ 0 & a − b & a − c \end{matrix}] ⇒ III + II [\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & b − a & c − a \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

a) La matrice associata ai tre vettori ha sempre rango minore di tre, quindi i tre vettori e i tre polinomi sono linearmente dipendenti.

b) Dal punto a) sappiamo che ⟨p_{1}, p_{2}, p_{3}⟩ ha sicuramente dimensione minore di tre. Inoltre

– Se a = b = c, allora la matrice ha rango 1 e ⟨p_{1}, p_{2}, p_{3}⟩ ha dimensione 1. Una base di ⟨p_{1}, p_{2}, p_{3}⟩ è data da {p_{1}} (o da {p_{2}} o da {p_{3}}).

– Se a ≠ b, allora la matrice ha rango 2 e ⟨p_{1}, p_{2}, p_{3}⟩ ha dimensione 2. Inoltre la matrice formata dalle prime due colonne ha sicuramente rango 2, quindi una base di ⟨p_{1}, p_{2}, p_{3}⟩ è data da {p_{1}, p_{2}}.

– Se a ≠ c, allora la matrice ha rango 2 e ⟨p_{1}, p_{2}, p_{3}⟩ ha dimensione 2. Inoltre la matrice formata dalla prima e terza colonna ha sicuramente rango 2, quindi una base di ⟨p_{1}, p_{2}, p_{3}⟩ è data da {p_{1}, p_{3}}.

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Esercizio 7.10 (7.74). Sia W l’insieme dei polinomi p(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d ∈ R[x], di grado al più 3, tali che p(0) = p(1) = 0. Determinare un insieme generatore di W.

Soluzione:

Come negli esercizi precedenti associamo a p(x) le sue componenti rispetto alla base canonica di R_{3}[x], {1, x, x^{2}, x^{3}}:

p(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d ⇒ p = (d, c, b, a)

Imponiamo le due condizioni al generico polinomio di grado al più 3:

\begin{cases}p(0) = 0 ⇒ d = 0 \\ p(1) = 0 ⇒ a + b + c + d = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}d = 0 \\ a + b + c = 0 \end{cases}

Quindi a W corrisponde il sottospazio V formato dagli elementi di R^{4} soluzioni del sistema omogeneo:

V = {(d, c, b, a) ∈ R^{4} | d = 0, a + b + c = 0}

Scriviamo ora le soluzioni di tale sistema omogeneo:

\begin{cases}a = −s − t \\ b = s \\ c = t \\ d = 0 \end{cases} ∀s, t, ∈ R

Quindi

V = ⟨ (0, 0, 1, −1), (0, 1, 0, −1)⟩

Infine

W = ⟨p_{1}(x) = x^{2} − x^{3}, p_{2}(x) = x − x^{3} ⟩
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Esercizio 7.11 (7.75). Si considerino i polinomi a coefficienti reali

p_{1} = x^{2} + x,  p_{2} = kx^{2} − 1,  p_{3} = x^{2} + 2x + k.

a) Stabilire per quali valori di k i tre polinomi formano una base dello spazio R_{2}[x].

b) Per i valori di k per cui i polinomi sono dipendenti, trovare uno o più polinomi che completano l’insieme {p_{1}, p_{2}, p_{3}} ad un’insieme generatore di R_{2}[x].

Soluzione:

Ricordiamo che

R_{2}[x] = {a_{0}x^{2} + a_{1}x + a_{2} : a_{0}, a_{1}, a_{2} ∈ R}

A ogni polinomio possiamo quindi associare le sue componenti (a_{0}, a_{1}, a_{2}) rispetto alla base canonica B = {x^{2}, x, 1}. In particolare ai polinomi p_{1}, p_{2}, p_{3} possiamo associare i vettori:

p_{1} = (1, 1, 0)
p_{2} = (k, 0, −1)
p_{3} = (1, 2, k)

Di conseguenza i polinomi p_{1}, p_{2} e p_{3} formano una base di R_{2}[x] sse i tre vettori p_{1}, p_{2} e p_{3} formano una base di R^{3}.In particolare R_{2}[x] ha dimensione 3.

Per rispondere a entrambe le domande dell’esercizio riduciamo a gradini la matrice associata ai tre vettori a cui affianchiamo la matrice identica 3 × 3.

[\begin{matrix}1 & k & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & k & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ II − I [\begin{matrix}1 & k & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & −k & 1 & | & −1 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & k & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒

\begin{matrix}III \\ II \end{matrix} [\begin{matrix}1 & k & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & k & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & −k & 1 & | & −1 & 1 & 0 \end{matrix}] ⇒ III − kII [\begin{matrix}1 & k & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & k & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 − k^{2} & | & −1 & 1 & −k \end{matrix}]

a) Consideriamo solo la prima parte della matrice: se k ≠ ±1 la matrice associata ai vettori p_{1}, p_{2}, p_{3} ha rango 3, quindi i tre vettor isono linearmente indipendenti. Analogamente i tre polinomi sono linearmente indipendenti e formano una base di R_{2}[x].

b) Se k = ±1 la matrice dei coefficienti ha rango 2 e dalla matrice ridotta ricaviamo che p_{2} e p_{3} sono linearmente indipendenti. Inoltre considerando tutta la matrice possiamo notare che la prima, la seconda e la quarta colonna (per esempio) sono linearmente indipendenti. Ricordiamo che la quarta colonna corrisponde al vettore (1, 0, 0) ovvero al polinomio q = x^{2}. Quindi:

– Se k = 1 una possibile base di R_{2}[x] è:

B = {p_{1} = x^{2} + x, p_{2} = x^{2} − 1, q = x^{2}}

– Se k = −1 una possibile base di R_{2}[x] è:

B = {p_{1} = x^{2} + x, p_{2} = −x^{2} − 1, q = x^{2}}
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