PROVA INTERMEDIA - GEOMETRIA E ALGEBRA – B – 31/08/2011

CORSO DI LAUREA IN ING. IND. E ING. ELETT. TEL. (CORSO A-L)

Esercizio 0.1. Siano A = (0, 1, 2), B = (−1, 0, 1), C = (−1, 1, 2), D = (−\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{3}) punti dello spazio.

a) Si mostri che A, B, C, D sono complanari e si calcoli un’equazione cartesiana del piano π che li contiene.

b) Sia E = (1, 1, 1). Usando i vettori geometrici, si calcoli l’area del parallelogramma che ha A, B, C come vertici e il volume del parallelepipedo definito da A, B, C, E.

Soluzione:

a) Per verificare che i quattro punti sono complanari basta determinare un’equazione del piano π passante per tre di essi, per esempio A, B e C, e verificare che D appartiene a tale piano. Poiché è richiesta un’equazione cartesiana, possiamo considerare il generico piano ax+by +cz = d e imporre il passaggio per A, B, C ottenendo il sistema

\begin{cases}b + 2c = d \\ −a + c = d \\ −a + b + 2c = d \end{cases} ⇒ \begin{cases}a = 0 \\ b = −d \\ c = d \end{cases} ∀d ∈ ℝ

Ponendo per esempio d = 1 otteniamo l’equazione

π : −y + z = 1

È immediato verificare che il punto D appartiene a π, quindi i quattro punti sono complanari.

b) Il parallelogramma di vertici A, B, C ha come lati consecutivi i vettori geometrici \overrightarrow{AB} = (−1, −1, −1) e \overrightarrow{AC} = (−1, 0, 0). Cominciamo a calcolare il prodotto vettoriale tra i due vettori

\overrightarrow{AB} × \overrightarrow{AC} = det [\begin{matrix}i & j & k \\ −1 & −1 & −1 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix}] = j − k = (0, 1, −1)

L’area del parallelogramma è il determinante di tale vettore:

A(parallelogramma) = \sqrt{2}

Il parallelepipedo richiesto ha come spigoli consecutivi i vettori geometrici \overrightarrow{AB} = (−1, −1, −1), \overrightarrow{AC} = (−1, 0, 0) e \overrightarrow{AE} = (1, 0, −1). Il suo volume è dato dal valore assoluto del prodotto misto \overrightarrow{AE} · (\overrightarrow{AB} × \overrightarrow{AC}). Avendo già calcolato \overrightarrow{AB} × \overrightarrow{AC}, otteniamo

V(parallelepipedo) = |(0, 1, −1) · (1, 0, −1)| = 1
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Esercizio 0.2. Si considerino i polinomi in ℝ_{2}[x]

p_{1}(x) = 3x^{2} + 5x + 8, p_{2}(x) = x^{2} + kx − 2, p_{3}(x) = −x^{2} + x − 10

(con k parametro reale).

a) Si stabilisca per quali valori di k i tre polinomi sono dipendenti.

b) Al variare del parametro k, si trovi una base del sottospazio V = ⟨p_{1}, p_{2}, p_{3}⟩ generato dai tre polinomi.

Soluzione: Fissata la base {x^{2}, x, 1} di ℝ_{2}[x], ai tre polinomi possiamo associare i vettori

p_{1} = (3, 5, 8), p_{2} = (1, k, −2), p_{3} = (−1, 1, −10) a) Per stabilire se i vettori, e quindi i polinomi, sono dipendenti possiamo considerare la matrice

associata ai tre vettori e calcolarne il determinante:

A = [\begin{matrix}3 & 1 & −1 \\ 5 & k & 1 \\ 8 & −2 & −10 \end{matrix}] , det(A) = −22k + 74

I tre polinomi sono dipendenti se la matrice ha determinante nullo, ovvero se k = \frac{37}{11}. In alternativa si poteva ridurre A a gradini e calcolarne il rango.

b) Abbiamo visto al punto precedente se k ≠ \frac{37}{11}, i tre polinomi sono indipendenti; di conseguenza

B(V) = \{p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x)\} = \{3x^{2} + 5x + 8, x^{2} + kx − 2, −x^{2} + x − 10\} se k ≠ \frac{37}{11}.

Per k = \frac{37}{11}, basta osservare che i tre polinomi sono dipendenti, mentre, per esempio, p_{1}(x) e p_{3}(x) sono indipendenti in quanto non sono uno multiplo dell’altro. Quindi

B(V) = \{p_{1}(x), p_{3}(x)\} = \{3x^{2} + 5x + 8, −x^{2} + x − 10\} se k = \frac{37}{11}.

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Esercizio 0.3. Dare una definizione di rango di una matrice. Che relazione c’è tra il rango di una matrice e il suo nucleo, cioè l’insieme delle soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0? Sia v un vettore (colonna) di ℝ^{4}. Mostrare che la matrice M = vv^{T} ha rango 0 o 1.

Esercizio 0.4. Sia A la matrice

A = [\begin{matrix}−1 & 1 & −1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & −1 \\ −1 & 1 & −1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & −1 \end{matrix}]

a) Calcolare basi dei nuclei E(0) = N(A) e E(−4) = N(A + 4I_{4}).

b) Usando la parte a) mostrare che 0 e −4 sono gli unici autovalori.

c) La matrice A è diagonalizzabile? In caso affermativo, trovare una matrice P diagonalizzante, cioè tale che P^{−1}AP sia diagonale.

Soluzione:

a) Per trovare basi dei nuclei basta risolvere i sistemi omogenei associati:

E(0) = N(A) = Sol(A|0) : [\begin{matrix}−1 & 1 & −1 & 1 & | & 0 \\ 1 & −1 & 1 & −1 & | & 0 \\ −1 & 1 & −1 & 1 & | & 0 \\ 1 & −1 & 1 & −1 & | & 0 \end{matrix}] ⇒

\begin{matrix}II + I \\ III − I \\ IV + I \end{matrix} [\begin{matrix}−1 & 1 & −1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix}] ⇒ −x + y − z + w = 0 ⇒ \begin{cases}x = t − s + h \\ y = t \\ z = s \\ w = h \end{cases} ∀t, s, h ∈ ℝ,

⇒ B(E(0)) = {(1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)}

E(4) = N(A + 4I_{4}) = Sol(A + 4I_{4}|0) : [\begin{matrix}3 & 1 & −1 & 1 & | & 0 \\ 1 & 3 & 1 & −1 & | & 0 \\ −1 & 1 & 3 & 1 & | & 0 \\ 1 & −1 & 1 & 3 & | & 0 \end{matrix}] ⇒

\begin{matrix}3II − I \\ III + II \\ IV + III \end{matrix} [\begin{matrix}3 & 1 & −1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 8 & 4 & −4 & | & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & | & 0 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}1/4II \\ 2III − II \end{matrix} [\begin{matrix}3 & 1 & −1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 2 & 1 & −1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & | & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & | & 0 \end{matrix}] ⇒

\begin{matrix}1/4III \\ IV − III \end{matrix} [\begin{matrix}3 & 1 & −1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 2 & 1 & −1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{matrix}] ⇒ \begin{cases}3x + y − z + w = 0 \\ 2y + w − z = 0 \\ z + w = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = −t \\ y = t \\ z = −t \\ w = t \end{cases} ∀t ∈ ℝ,

⇒ B(E(−4)) = {(−1, 1, −1, 1)}

b) Poiché la somma delle molteplicità geometriche dei due autovalori è 4, pari all’ordine di A, non possono esistere altri autovalori.

c) Per quanto visto al punto a), la matrice A è diagonalizzabile. Inoltre abbiamo già trovato gli autospazi, quindi la matrice P diagonalizzante, di cambiamento di base, è

P = [\begin{matrix}1 & −1 & 1 & −1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & − & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}]

Notiamo che la matrice A è simmetrica, quindi è necessariamente diagonalizzabile.

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Esercizio 0.5. Si consideri l’endomorfismo T di ℝ^{3} la cui matrice rispetto alla base canonica è

A = [\begin{matrix}5 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

a) Si determino gli autovalori di T e si stabilisca se T è diagonalizzabile.

b) Si trovino basi ortonormali degli autospazi di T.

Soluzione:

a) T è sicuramente diagonalizzabile in quanto la matrice associata rispetto alla base canonica è sim-

metrica.

Calcoliamo il polinomio caratteristico di A

p_{A}(λ) = det(A − λI) = (1 − λ)(λ^{2} − 6λ).

Di conseguenza gli autovalori di T sono λ = 0, 1, 6. Anche a questo punto potevamo concludere che T è diagonalizzabile in quanto ha tre autovalori singoli.

b) Calcoliamo gli autospazi di T:

E(0) = N(A) : [\begin{matrix}5 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}5II − 2I \\ 2III − II \end{matrix} [\begin{matrix}5 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & −1 & 2 \end{matrix}] ⇒ \begin{cases}5x + 2y + z = 0 \\ y − 2z = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = −t \\ y = 2t \\ z = t \end{cases}

⇒ B(E(0)) = \{(−1, 2, 1)\} , B_{ortonormale}(E(0)) = \{(−\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})\}

E(1) = N(A − I) : [\begin{matrix}4 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}] ⇒ \begin{cases}4x + 2y + z = 0 \\ x = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 0 \\ y = t \\ z = −2t \end{cases}

⇒ B(E(1)) = \{(0, 1, −2)\} , B_{ortonormale}(E(1)) = \{(0, \frac{1}{\sqrt{5}}, −\frac{2}{\sqrt{5}})\}

E(6) = N(A − 6I) : [\begin{matrix}−1 & 2 & 1 \\ 2 & −5 & 0 \\ 1 & 0 & −5 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}II + 2I \\ III + I \end{matrix} [\begin{matrix}−1 & 2 & 1 \\ 0 & −1 & 2 \\ 0 & 2 & −4 \end{matrix}]

⇒ \begin{cases}−x + 2y + z = 0 \\ −y + 2z = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 5t \\ y = 2t \\ z = t \end{cases}

⇒ B(E(6)) = \{(5, 2, 1)\} , B_{ortonormale}(E(6)) = \{(\frac{5}{\sqrt{30}}, \frac{2}{\sqrt{30}}, \frac{1}{\sqrt{30}})\}

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Esercizio 0.6. Dopo avere ricordato cos’è la matrice associata ad una funzione lineare T : V → V′ rispetto ad una coppia di basi di V e V′, dire che relazione c’è tra la matrice associata e l’immagine di T.