CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

RANGO, INDIPENDENZA LINEARE E BASI – GEOMETRIA 2009/10

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Rango.

Per calcolare il rango di una matrice possiamo utilizzare i sottodeterminanti oppure i pivot. Infatti valgono le seguenti proprietà:

(1) Il rango di una matrice A corrisponde al massimo ordine di una sua sottomatrice (quadrata) con determinante non nullo.

(2) Il rango di una matrice A corrisponde al numero dei suoi pivot, una volta che A è stata ridotta a gradini.

(3) Il rango di una matrice A è uguale al numero di righe linearmente indipendenti.

(4) Il rango di una matrice A è uguale al numero di colonne linearmente indipendenti.

Osservazioni

• Come conseguenza delle proprietà 3) e 4) si ha che se A è una matrice n × m, allora rg(A) ≤ min{m, n}

• Per utilizzare la proprietà 1) si può anche ridurre (parzialmente) a gradini la matrice. ——————————————————————————————————————————————-

Rouchè-Capelli.

Un sistema di equazioni AX = b ammette soluzioni (è compatibile) se e solo se il rango della matrice dei coefficienti A è uguale al rango della matrice completa A|b:

rg(A) = rg(A|b)

Inoltre:

• Ammette un’unica soluzione se rg(A) = rg(A|b) = numero delle incognite.

• Ammette infinite soluzioni se rg(A) = rg(A|b) < numero delle incognite.

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Spazi vettoriali.

Sia di qui in poi V uno spazio vettoriale e v, v_{1}, …, v_{n} elementi di V. (V può essere un sottospazio di R^{m}, o uno spazio di matrici, o uno spazio di polinomi, o...). ——————————————————————————————————————————————-

v è combinazione lineare di v_{1}, …, v_{n} se l’equazione:

x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + ⋯ + x_{n}v_{n} = v

ammette soluzione.

Nel caso particolare in cui V ⊆ R^{m}, alla precedente equazione possiamo associare la matrice A|b, dove le colonne di A sono date dai vettori v_{1}, …, v_{n} e b è data dal vettore v. In tale caso:

v è combinazione lineare di v_{1}, …, v_{n} sse rg(A) = rg(A|b)

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v_{1}, …, v_{n} sono linearmente indipendenti se l’equazione:

x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + ⋯ + x_{n}v_{n} = 0

ammette la sola soluzione nulla x_{1} = x_{2} = …, x_{n} = 0.

Nel caso particolare in cui V ⊆ R^{m}, alla precedente equazione possiamo associare la matrice A|0, dove le colonne di A sono date dai vettori v_{1}, …, v_{n}. In tale caso:

v_{1}, …, v_{n} sono linearmente indipendenti sse rg(A) = n

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Sia S = {v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} un sottinsieme di V. Diciamo che S è una base di V se:

(1) S è un insieme generatore di V: V = ⟨S⟩, cioè ogni elemento di V si può scrivere come combinazione lineare degli elementi di S.

(2) Gli elementi di S sono linearmente indipendenti. La dimensione di uno spazio vettoriale corrisponde al numero di elementi di una sua base.

Nel caso particolare in cui V = R^{n} sappiamo che S per essere una base deve essere formato da n elementi, ed è sufficiente verificare che gli n elementi di S siano linearmente indipendenti. Ragionando sui ranghi, n vettori di R^{n} formano una base di R^{n} se e solo se la matrice associata ha rango n. ——————————————————————————————————————————————-

• Nel caso particolare di V = ⟨ v_{1}, v_{2}, …, v_{n}⟩ ⊆ R^{m}, se indichiamo con A la matrice formata dai vettori colonna v_{1}, …, v_{n}, allora:

dim(V)  = rg(A)
B(V)  = {vettori linearmente indipendenti tra v_{1}, …, v_{n}}
= {vettori tra v_{1}, …, v_{n} corrispondenti ai pivot di A }

• Nel caso particolare di V = { soluzioni di un sistema omogeneo }, se indichiamo con A la matrice associata al sistema e con n il numero delle incognite, allora:

dim(V)  = n − rg(A)
B(V)  = {generatori delle soluzioni una volta scritte in forma vettoriale }

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