CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 10 – GEOMETRIA 2009/10

Esercizio 10.1. [15.1] Utilizzando le coordinate omogenee, determinare l’equazione della retta r passante per i punti A(2, 3) e B(−1, 0) e della retta s passante per A e di direzione \overrightarrow{v}(1, 2). Determinare inoltre il punto improprio di r e s.

Esercizio 10.2. [15.2] Utilizzando le coordinate omogenee, determinare l’equazione del piano π_{1} passante per i punti A(2, 3, 0), B(3, 1, −1) e C(0, 0, 1) e del piano π_{2} passante per A e B e parallelo alla retta x + y = x − z = 0.

Esercizio 10.3. [15.3] Stabilire se il piano di coordinate omogenee N = (1, −2, 0, −3) passa per il punto P (1, −1, 2).

Esercizio 10.4. [15.4] Determinare un’equazione parametrica della retta r passante per i punti A(1, 2, −5) e B(−1, 0, 3), e trovarne il punto all’infinito.

Esercizio 10.5. [15.5] Si consideri la proiezione centrale T sul piano x + y = 1 dal centro C(1, 2, −1). Dopo avere determinato la matrice di T, stabilire in cosa vengono trasformati i punti A(1, 5, 0) e B(1, 0, 0).

Esercizio 10.6. [15.6] Determinare la matrice della proiezione parallela T sul piano x − y + 2z = 0 di direzione \overrightarrow{v} = (1, 0, −1). Dopo avere determinato la matrice di T, stabilire in cosa viene trasformata la retta r : x + y = z = 0.

Esercizio 10.7. [15.7] Sia π il piano di equazione x + 2y − z = 0 e C il punto di coordinate (0, 1, −1). a) Si determini la matrice della proiezione dal centro C sul piano di vista π.

b) Si trovino equazioni delle proiezioni delle rette

r : x + y = x + z − 1 = 0 s : x = y = z + 1

Esercizio 10.8. [15.8] Sia π il piano di equazione 3x − y + z = 1 e \overrightarrow{v} il vettore (1, 1, 1). a) Si determini la matrice della proiezione parallela nella direzione di \overrightarrow{v} sul piano di vista π.

b) Stabilire se si tratta di una proiezione ortogonale o obliqua.

Esercizio 10.9. [15.9] Siano M = (1, 1, 1), N = (3, 2, 1), L = (1, 2, 2) punti dello spazio R^{3}. Sia C = (−1, 0, 1).

a) Si calcoli l’area del triangolo MNL.

b) Si determini l’insieme M′N′L′ che si ottiene proiettando il triangolo MNL dal centro C sul piano x + y = 0.

c) Si calcoli l’area del triangolo M′N′L′.

Esercizio 10.10. [15.10] Sia r la retta dello spazio di equazioni cartesiane r : 2x − y + 1 = x − z = 0.

(a) Si trovino equazioni cartesiane ed equazioni parametriche della retta r′ ottenuta proiettando r sul piano x + y + z = 0 dal centro C = (2, 1, 1).

(b) Trovare coordinate omogenee del punto all’infinito della retta r′ e stabilire se r e r′ sono parallele.

Esercizio 10.11. [15.11] Sia π il piano dello spazio di equazione cartesiana

π : x − y + z + 1 = 0.

a) Si calcoli la matrice della proiezione sul piano π dal centro di proiezione C = (1, 1, 1).

b) Si calcoli il punto improprio P_{∞} della retta r : x − y = z = 0 e la proiezione di P_{∞} sul piano π (dal centro C). Cosa si può dire della posizione reciproca di r e π?