CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 9 – GEOMETRIA 2009/10

Esercizio 9.1. [9.3] Sia T l’endomorfismo di R^{3} definito da

A = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}]

a) Stabilire se esistono autovettori di T ed eventualmente determinarli.

b) Stabilire se T è diagonalizzabile.

c) Determinare la base rispetto alla quale T ha matrice associata D diagonale e determinare la matrice diagonale D e la matrice P diagonalizzante (cioé tale che P^{−1}AP = D).

Esercizio 9.2. [9.5] [Esercizio 9) cap. 7 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato]

Riconoscere che le due seguenti matrici M sono diagonalizzabili, e calcolare per ciascuna di esse una matrice P diagonalizzante (tale cioè che valga P^{−1}MP = D, con D matrice diagonale; ricordiamo che P è una matrice le cui colonne sono autovettori di M).

M = [\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}] , M = [\begin{matrix}2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{matrix}]

Esercizio 9.3. [9.7] Date le matrici

A = [\begin{matrix}2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}−3 & 1 & −1 \\ −7 & 5 & −1 \\ −6 & 6 & −2 \end{matrix}]  C = [\begin{matrix}1 & −3 & 3 \\ 3 & −5 & 3 \\ 6 & −6 & 4 \end{matrix}]

a) Si determini il polinomio caratteristico di ciascuna matrice.

b) Si determinino gli autovalori, e i relativi autospazi, di ciascuna matrice.

c) Si stabilisca se le matrici sono diagonalizzabili.

Esercizio 9.4. [9.9] Sia T : R^{3} → R^{3} l’endomorfismo a cui è associata la matrice

A = [\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & −6 \\ 0 & 2 & 5 \end{matrix}]

a) Si determinino gli autovalori di T e si stabilisca se T è diagonalizzabile.

b) Si determini una base di R^{3} formata da autovettori di T.

Esercizio 9.5. [9.12] Sia T : R^{3} → R^{3} l’applicazione lineare definita da

T (x, y, z) = (x, y + 3z, x + y − z)

a) Si determinino gli autovalori, autovettori e autospazi di T.

b) Si stabilisca se T è diagonalizzabile, e in caso positivo si determini la matrice P diagonalizzante.

c) Si determini una base B di R^{3} tale che la matrice associata a T rispetto a B sia diagonale e si determini esplicitamente tale matrice diagonale.

Esercizio 9.6. [9.13] [Esercizio 21) cap. 7 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato]

Discutere la diagonalizzabilità delle seguenti matrici al variare del parametro reale k.

A = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]  C = [\begin{matrix}3 & 1 & 5 \\ 0 & k & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]  D = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Esercizio 9.7. [9.16] Sia

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & −1 \end{matrix}]

la matrice associata all’applicazione lineare T : R^{3} → R^{3} rispetto alla base

B = { 1, 1, 0), (0, 3, 0), (0, 1, 1) }

a) Si determinino gli autovalori di T.

b) Si determinino gli autovettori e gli autospazi di T.

c) Si stabilisca se T è diagonalizzabile.

Esercizio 9.8. [9.17] Sia B = {v_{1} = (1, 0, 0), v_{2} = (1, 1, 0), v_{3} = (1, 1, 1)} una base di R^{3} e sia S l’endomorfismo di R^{3} con matrice associata rispetto a B

A = M_{B}(S) = [\begin{matrix}5 & 2 & −2 \\ 1 & 6 & −5 \\ 3 & −3 & 4 \end{matrix}] .

a) Trovare gli autovalori (reali) di S.

b) Trovare gli autovettori di S e stabilire se S è diagonalizzabile.

Esercizio 9.9. [9.22] Data la matrice

M = [\begin{matrix}3 & 0 & 1 & 0 \\ k − 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & k & 0 \\ −1 & 2 & 3 & 1 \end{matrix}]

a) Si discuta la diagonalizzabiltà di M al variare del parametro k ∈ R.

b) Per k = 2, si determini una base di R^{4} formata da autovettori di M.

Esercizio 9.10. [9.23 e 9.26] Si considerino le matrici

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}] e B = [\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ 5 & k − 2 & 1 \end{matrix}] .

a) Determinare per quali valori di k la matrice B è diagonalizzabile.

b) Stabilire per quali valori di k le due matrici A e B sono simili.

c) Per k = 3 le due matrici possono essere associate allo stesso endomorfismo?

Esercizio 9.11. [9.32] Sia T l’endomorfismo di R_{2}[x] che associa al polinomio p(x) = ax^{2}+bx+c ∈ R_{2}[x] il polinomio

T (p(x)) = (a + kb)x^{2} + (ka + b)x + kc.

a) Trovare la matrice associata a T rispetto alla base {x^{2}, x, 1}.

b) Calcolare gli autovalori di T.