CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 7 – GEOMETRIA 2009/10

Esercizio 7.1. [8.8] Sia T : R^{2} → R^{3} l’applicazione lineare definita da

A = M(T) = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & −1 \end{matrix}]

a) Determinare una base di Nucleo e Immagine di T.

b) Stabilire se (−3, 2, 1) appartiene a T.

Esercizio 7.2. [8.7] Sia T : R^{2} → R^{3} l’applicazione lineare definita sulla base canonica di R^{2} nel seguente modo: T (e_{1}) = (1, 2, 1), T (e_{2}) = (1, 0, −1).

a) Esplicitare T (x, y).

b) Determinare la matrice A associata a T (rispetto alle basi canoniche).

c) Stabilire se (3, 4, 1) appartiene a Im(T).

Esercizio 7.3. [8.6] Sia T : R^{2} → R^{3} l’applicazione definita da T (x, y) = (x + y, 2x, x − y). a) Determinare Nucleo e Immagine di T.

b) Determinare la matrice A associata a T (rispetto alle basi canoniche).

c) Determinare T (1, 2) usando la definizione e usando la matrice A.

Esercizio 7.4. [8.9] Sia T : R^{3} → R^{3} l’applicazione lineare definita da

A = [\begin{matrix}−3 & 1 & 0 \\ 2 & −1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}]

Determinare l’immagine attraverso T del piano π : x + 2y = 0.

Esercizio 7.5. [8.11] Sia T : R^{4} → R^{5} la funzione lineare definita da

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (x_{1} − x_{2}, x_{1} + x_{2}, x_{2}, x_{2} + 3x_{3}, −2x_{1})

rispetto alle basi canoniche.

a) Trovare una base del nucleo N(T) e una base dell’immagine Im(T).

b) Dire se T è iniettiva e/o suriettiva.

c) Per quali valori di k ∈ R il vettore v_{k} = (k, 2, 1 − k, 4, −2) appartiene all’immagine di T?

Esercizio 7.6. [8.30] Sia T : R^{4} → R^{4} la funzione lineare definita da T (x) = Ax, con

A = [\begin{matrix}1 & 0 & −1 & 1 \\ −2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & −1 & 1 \end{matrix}] .

a) Stabilire se T invertibile.

b) Trovare basi del nucleo e dell’immagine di T.

Esercizio 7.7. [8.32] Si consideri la funzione lineare T : R^{4} → R^{4} definita dalla matrice

[\begin{matrix}2k & 0 & 2 & 1 \\ k & 0 & 1 & 1 \\ k − 1 & −1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

a) Si dica se esistono valori del parametro reale k per i quali T è iniettiva o suriettiva.

b) Si calcoli la dimensione del nucleo N(T) e dell’immagine Im(T) al variare di k.

Esercizio 7.8. [8.17] a) Verificare che le relazioni

T (1, 1, 1) = (−1, 2), T (0, 1, 1) = (0, 4), T (1, 1, 0) = (2, 1)

definiscono un’unica applicazione lineare T da R^{3} a R^{2}.

b) Scrivere la matrice rappresentativa di T rispetto alla basi canoniche.

c) Trovare basi di Im(T) e di N(T).

Esercizio 7.9. [8.36] Sia S : R^{4} → R^{3} la funzione lineare

S(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (3x_{1} − 2x_{3} + x_{4}, 4x_{1} − 2x_{2} + 2x_{3} + 3x_{4}, x_{1} + 2x_{3} + 2x_{4}).

a) Si trovi una base del nucleo di S e una base dell’immagine di S.

b) Sia E la base canonica di R^{4} e sia B la base di R^{3} costituita dai vettori

v_{1} = (1, 0, 1), v_{2} = (1, 0, 0), v_{3} = (1, 1, 1)

Si determini la matrice M_{E}^{B}(S) associata a S.

Esercizio 7.10. [8.44] Sia S : R^{3} → R^{3} la funzione lineare associata a:

[\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{matrix}]

rispetto alla base B = {(1, 1, 1), (0, 2, 2), (0, 0, 3)} di R^{3}.

a) Si scriva la matrice associata a S rispetto alle basi canoniche.

b) Determinare basi dell’immagine Im(S) e del nucleo N(S).

Esercizio 7.11. [8.50] Sia

B = {v_{1} = (1, 0, 1), v_{2} = (0, −1, 0), v_{3} = (2, 0, 0)}

una base di R^{3} e sia T l’endomorfismo di R^{3} così definito:

T (v_{1}) = (3, 1, 2),  T (v_{2}) = (0, 1, 1),  T (v_{3}) = (6, 4, 6)

a) Si determini la matrice M(T) associata a T rispetto alla base canonica.

b) Si determini base e dimensione dell’Immagine e del Nucleo di T.

c) Si stabilisca per quali valori di k il vettore v_{k} = (k + 1, 0, k) appartiene all’Immagine di T.

Esercizio 7.12. [8.53] Sia E = {e_{1}, e_{2}, e_{3}} la base canonica di R^{3}. Sia T : R^{3} → R^{3} la funzione lineare tale che:

T (e_{1}) = 3e_{1} − e_{2} + e_{3}, T (e_{2}) = e_{2} − e_{3}, T (e_{3}) = 2T (e_{1}) + T (e_{2})

a) Si calcoli la matrice associata a T rispetto ad E.

b) Trovare basi del nucleo e dell’immagine di T e stabilire se T è invertibile.

Esercizio 7.13. [v. 8.56] Sia S : M_{n}(R) → M_{n}(R) la funzione lineare così definita:

S(A) = A − A^{T}

a) Si determini il nucleo e l’immagine di S.

b) Posto n = 2, si determini la matrice associata a S rispetto alla base

B = \{[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] , [\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}] , [\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] , [\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]\}

Esercizio 7.14. [8.58] Si f : R_{2}[x] → R_{2}[x] l’applicazione lineare definita ponendo

f(ax^{2} + bx + c) = (a − b)x^{2} + (b − c)x + a − c

a) Si trovi la matrice rappresentativa di tale applicazione rispetto alla base

B = {x^{2} + 2, x − 1, x + 1}

b) Si trovi la dimensione e una base di N(f) e Im(f).