CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 6 – GEOMETRIA 2009/10

Esercizio 6.1. [7.12] Si consideri il sistema lineare

\begin{cases}(1 + k)x = 0 \\ ky + z + w = 2 \\ x + kz + 2w = k \\ x + kw = 0 \end{cases}  (k parametro reale)

a) Si dica per quali valori di k il sistema ammette una unica soluzione.

b) Si determinino tutte le soluzioni del sistema per k = 0.

Esercizio 6.2. [7.15] Si consideri il sistema di equazioni lineari:

\begin{cases}kx_{1} − x_{4} = 1 \\ x_{2} + 2x_{3} = 0 \\ (k − 1)x_{1} + (k − 1)x_{2} = k − 1 \\ kx_{1} + kx_{2} = 2k \end{cases}  (k parametro reale)

a) Si dica per quali valori di k il sistema ammette soluzione, specificando se e quando ne ammette una o infinite.

b) Per i valori di k che rendono il sistema compatibile, si determinino le sue soluzioni.

Esercizio 6.3. [7.18] Si consideri lo spazio vettoriale N(A) dato dalle soluzioni del sistema omogeneo Ax = 0 con

A = [\begin{matrix}8k + 1 & k + 4 & 0 & k + 8 \\ 2k & 0 & 1 & 2k + 2 \\ 0 & 0 & k + 4 & 0 \\ k & 0 & k + 2 & k + 3 \end{matrix}] k parametro reale.

a) Si stabilisca per quali valori di k lo spazio N(A) è nullo: N(A) = {(0, 0, 0, 0)}.

b) Per i valori di k esclusi al punto precedente si determini una base di N(A).

Esercizio 6.4. [7.29] Sia V il sottospazio di R^{4} generato dai vettori:

v_{1} ≡ (0, k − 1, k^{2} − 1, 3k − 2),  v_{2} ≡ (1, 3, 0, 3),  v_{3} ≡ (−1, −2, 1, −1).

Determinare la dimensione e una base di V al variare del parametro reale k.

Esercizio 6.5. [7.30] Sia W il sottospazio di R^{4} generato dai vettori {v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}:

v_{1} = (−1, 1, −1, 1),  v_{2} = (1, k, 3, 4),  v_{3} = (1, −1, k, 1),  v_{4} = (0, 0, 1, k)

Si calcoli la dimensione di W al variare di k ∈ R.

Esercizio 6.6. [7.68] Sia dato l’insieme

V = {p(x) ∈ R_{3}[x] | p(1) = 0 }

Verificare che l’insieme V è un sottospazio vettoriale di R_{3}[x] e determinarne una base.

Esercizio 6.7. [7.81] Sia W il sottoinsieme dello spazio di polinomi R_{3}[x] definito da

W = {p(x) ∈ R_{3}[x] | p′′′ = 0, p(1) = 0}

(p′′′ è la derivata terza di p)

a) Mostrare che W è un sottospazio vettoriale di R_{2}[x].

b) Trovare una base e la dimensione di W.

c) Determinare le coordinate del polinomio p(x) = 2x^{2} − x − 1 ∈ W rispetto alla base trovata.

Esercizio 6.8. [7.69] Siano dati i polinomi

p_{1}(x) = 1 + x,  p_{2}(x) = 1 + 2x + x^{2},  p_{3}(x) = x − x^{2}.
a) Verificare che l’insieme {p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x)} è una base di R_{2}[x].
b) Esprimere f(x) = x^{2} − x + 2 come combinazione lineare di p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x).

Esercizio 6.9. [7.70] Si considerino i polinomi p_{1} = x^{2}+ax+b+c, p_{2} = x^{2}+bx+a+c, p_{3} = x^{2}+cx+a+b. a) Mostrare che per ogni valore dei parametri a, b, c i tre polinomi sono dipendenti nello spazio dei

polinomi R[x].

b) Calcolare la dimensione e una base dello spazio ⟨p_{1}, p_{2}, p_{3}⟩ ⊆ R[x] al variare di a, b, c.

Esercizio 6.10. [7.73] Si considerino i polinomi a coefficienti reali

p_{1} = x^{2} + x,  p_{2} = kx^{2} − 1,  p_{3} = x^{2} + 2x + k.

a) Stabilire per quali valori di k i tre polinomi formano una base dello spazio R_{2}[x].

b) Per i valori di k per cui i polinomi sono dipendenti, trovare uno o più polinomi che completano l’insieme {p_{1}, p_{2}, p_{3}} ad un’insieme generatore di R_{2}[x].

Esercizio 6.11. [7.82] Sia S l’insieme delle matrici simmetriche (Notiamo anche che S = {A ∈ M_{2×2} | A^{T} = A}):

S = \{ [\begin{matrix}a & b \\ b & d \end{matrix}] | a, b, d ∈ R\}

.

a) Verificare che S è un sottospazio di M_{2×2}.

b) Determinare una base di S.

Esercizio 6.12. [7.85] Si consideri il sottospazio

S = \{ [\begin{matrix}3a + b + 3c & 2b − 6c \\ a + 3b − 7c & 4a + 8c \end{matrix}] | a, b, c ∈ R\}

dello spazio delle matrici reali M_{2}(R).

a) Determinare una base di S.

b) Stabilire se A = [\begin{matrix}2 & 0 \\ 2/3 & 8/3 \end{matrix}] ∈ S (ed in caso positivo esprimere A come combinazione lineare della

base trovata in a)).

Esercizio 6.13. [7.86] Sia V Lo spazio vettoriale delle matrici reali 2 × 2. Si consideri la matrice

A = [\begin{matrix}−8 & −7 \\ 1 & 0 \end{matrix}] e sia S il sottinsieme di V costituito dalle matrici che commutano con A:

S = \{M = [\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}] ∈ V : AM = MA\}

Mostrare che S è un sottospazio di V e calcolarne la dimensione e una base.

Esercizio 6.14. [7.88] Si consideri la matrice

A = [\begin{matrix}1 & k \\ 2 & 3 \end{matrix}] .

a) Si determini una base del sottospazio U = {X ∈ M_{2}(R) : AX = XA} .

b) Mostrare che il sottoinsieme W = {X ∈ U : X è invertibile} non è un sottospazio vettoriale di U.

Esercizio 6.15. [7.89] Sia W = ⟨A, B , C⟩ il sottospazio di M_{2}(R) generato dalle matrici

A = [\begin{matrix}0 & 0 \\ k & 0 \end{matrix}] ,  B = [\begin{matrix}1 & k \\ −2 & 0 \end{matrix}] ,  C = [\begin{matrix}k & 1 \\ k − 1 & 1 \end{matrix}]

Si determini la dimensione di W e una sua base al variare del parametro reale k.

Esercizio 6.16. [6.5] Dopo avere stabilito se le seguenti matrici sono invertibili calcolarne l’inversa:

A_{1} = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}]  A_{2} = [\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]  A_{3} = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}]

A_{4} = [\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}]  A_{5} = [\begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}]  A_{6} = [\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix}]

Esercizio 6.17. [6.7] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}k & k − 1 & k \\ 0 & 2k − 2 & 0 \\ 1 & k − 1 & 2 − k \end{matrix}] (k reale).

a) Si determini per quali valori di k la matrice A è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k = −1.

b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.