CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 4 – GEOMETRIA 2009/10

Esercizio 4.1. [7.9] Si consideri il sistema di equazioni lineari:

\begin{cases}kx + ky + k^{2}z & = 4 \\ x + y + kz & = k \\ x + 2y + 3z & = 2k \end{cases}

a) Si dica per quali valori del parametro reale k il sistema è compatibile.

b) Esistono valori di k per i quali il sistema ha infinite soluzioni?

Esercizio 4.2. [7.10] Dato il sistema

\begin{cases}x + kz = 1 \\ x + (k − 1)y + (k + 1)z = 1 \\ x + (k − 1)y + (k^{2} + 4k + 3)z = k + 3 \end{cases}

determinare per quali valori di k ∈ R il sistema ammette soluzioni. In tali casi stabilire anche se ne ammette una o infinite.

Esercizio 4.3. [7.20] Si consideri la matrice

A = [\begin{matrix}2 & 6 & 2k + 2 \\ 3 & k + 11 & 5k + 7 \\ −1 & −3 & k^{2} − 3 \end{matrix}]

dove k è un parametro reale.

a) Si calcoli il rango di A.

b) Si stabilsca per quali valori di k il sistema Ax = b ha soluzione per ogni b ∈ R^{3}.

Esercizio 4.4. [4.9] Sia

S = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x + y + (k + 1)z = k, 2x + y + z = 0 }

a) Stabilire per quali valori di k l’insieme S è un sottospazio di R^{3}.

b) Per i valori di k trovati al punto precedente esplicitare S.

Esercizio 4.5. [4.10] Sia

S = {(x, y, z) ∈ R^{3} | x − 2y + kz = k − 1, x − 2y + z = 0, −2x + 4ky − 2z = 0 }

a) Stabilire per quali valori di k l’insieme S è un sottospazio di R^{3}.

b) Per i valori di k trovati al punto precedente esplicitare S.

Esercizio 4.6. [4.11] Sia S il sottoinsieme di R^{5}

S = {x ∈ R^{5} | x_{1} − x_{2} + 2x_{5} = k, x_{1} + x_{3} + kx_{4} = 0} .

a) Per quali valori del parametro reale k l’insieme S è un sottospazio vettoriale di R^{5}?

b) Per i valori determinati al punto a) esplicitare S.

Esercizio 4.7. [7.21] Siano dati i seguenti vettori di R^{3}:

v_{1} ≡ (2, 1, 1),  v_{2} ≡ (−1, 1, 2),  v_{3} ≡ (3, −2, −1),  v_{4} ≡ (4, −1, −2).

Stabilire se v_{4} è combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3}.

Esercizio 4.8. [7.22] Siano dati i segunti vettori di R^{3}:

v_{1} ≡ (1, 1, 1),  v_{2} ≡ (2, 7, 7),  v_{3} ≡ (0, k^{2} + 2, 3),  v_{4} ≡ (1, k + 3, k^{2} + 2).

Stabilire se v_{4} è combinazione lineare di v_{1}, v_{2} e v_{3} al variare del parametro k.

2 FOGLIO DI ESERCIZI 4 – GEOMETRIA 2009/10

Esercizio 4.9. [6.4] Calcolare l’inversa delle matrici (invertibili)

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix}]

utilizzando il metodo della riduzione a gradini. Esercizio 4.10. [v. 6.7] Si calcoli la matrice inversa di

A = [\begin{matrix}−1 & −2 & 1 \\ 0 & −4 & 0 \\ 1 & −2 & 3 \end{matrix}]

Esercizio 4.11. [6.9] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 3k & 8 + 2k & k − 1 \\ 0 & 8k + 8 & 0 \end{matrix}] (t reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile? Esercizio 4.12. [6.11] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & k & 0 \\ 0 & 1 & k − 4 \\ 2 & k & 0 \end{matrix}] (k reale).

a) Stabilire per quali valori di k la matrice A è invertibile.

b) Per i valori di k trovati al punto precedente determinare l’inversa di A.