CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 2– GEOMETRIA 2009/10

Esercizio 2.1. [1.2] Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, μ ∈ R, calcolare A + B, B − A, λA + μB, AB, BA, A^{2}:

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}3 & 2 \\ −1 & 4 \end{matrix}]  λ = \frac{1}{2}, μ = 0
A = [\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 3 & −1 & −1 \\ 2 & 0 & −1 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}3 & 0 & 2 \\ −1 & 4 & 5 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix}]  λ = 2, μ = −1

Esercizio 2.2. [1.3] Date le seguenti matrici:

A_{1} = [\begin{matrix}−1 & 2 & 5 & −3 \\ 3 & −1 & 0 & 2 \\ 4 & 0 & 0 & −2 \end{matrix}];  A_{2} = [\begin{matrix}0 & −2 & 5 \\ 4 & −3 & 2 \end{matrix}];  A_{3} = [\begin{matrix}5 & 0 \\ −1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 5 & −1 \end{matrix}];
A_{4} = [\begin{matrix}3 & 5 \\ −1 & 10 \\ −2 & 0 \end{matrix}];  A_{5} = [\begin{matrix}−2 & 4 & 1 \\ −4 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}];  A_{6} = [\begin{matrix}−3 & 1 & −1 \\ −8 & 5 & 3 \end{matrix}];

calcolare, quando possibile, i prodotti A_{i} · A_{j} per i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Esercizio 2.3. [1.5] Date le matrici

A = [−2 \frac{1}{2} 3 1] B = [1 −3 \frac{2}{3} 1]

calcolare 3A − 2B e AB^{T}. Esercizio 2.4. [1.6] Calcolare la potenza A^{3} della matrice

[\begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

Esercizio 2.5. [1.8] Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I).

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 3 & 3 \end{matrix}] A = [\begin{matrix}1 & −1 \\ −3 & 2 \end{matrix}]

Esercizio 2.6. [1.9] Date le matrici

A = [\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & 3 \end{matrix}] C = [\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}]

calcolare AB, BA, BC e CB. Esercizio 2.7. [1.10] Si consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori di M_{2×2}(R))

I = \{[\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}] | a, b, c ∈ R\}

Si verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I. Esercizio 2.8. [3.1] Dimostrare che l’insieme

G = \{[\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix}] | a, b ∈ R, a, b ≠ 0\}

forma un gruppo rispetto al prodotto tra matrici.

Esercizio 2.9. [1.11] Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A, B non nulle tali che AB = 0. Esercizio 2.10. [1.12] Sia

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

e B una matrice tale che AB = BA. Si dimostri che

B = λI_{2} + [\begin{matrix}0 & x \\ 0 & 0 \end{matrix}]

dove λ, x ∈ R. Esercizio 2.11. [1.13] Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & −2 & 3 \\ 0 & 5 & −6 \\ 2 & −1 & 4 \end{matrix}] e C = [\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ −1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}]

determinare la matrice B tale che A + B = C. Esercizio 2.12. [1.14] Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 3 \end{matrix}] , B = [\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] , C = [\begin{matrix}−1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}] , D = [\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix}]

stabilire se D è combinazione lineare di A, B, C. Esercizio 2.13. [1.15] Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix}] , B = [\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}] , C = [\begin{matrix}3 & 6 \\ 1 & 3 \end{matrix}]

stabilire se esistono valori di k per cui C è combinazione lineare di A, B. In caso positivo esprimere tale combinazione lineare. Esercizio 2.14. [1.18] Si risolva il sistema Ax = b dove

A = [\begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}2 \\ −2 \end{matrix}]

Esercizio 2.15. [1.20] Si risolva il sistema Ax = b nei seguenti casi

a)  A = [\begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}2 \\ −3 \\ 4 \end{matrix}]
b)  A = [\begin{matrix}4 & 33 & 2 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}3 \\ 4 \\ −4 \end{matrix}]
c)  A = [\begin{matrix}−1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}]