CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 8 – GEOMETRIA 2009/10

Esercizio 8.1 (8.40). Sia T : R^{2} → R^{3} l’applicazione definita da T (x, y) = (2x, x − y, 2y), e siano B = {(1, 0), (1, 1) } e B′ = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 2) } due basi di R^{2} e R^{3} rispettivamente. Determinare la matrice A = M_{B}^{B′}(T) associata a T rispetto alle basi B e B′.

Soluzione:

La matrice A cercata ha per colonne le immagini attraverso T degli elementi di B, espressi rispetto a B′. Cominciamo a calcolare la immagini:

T (1, 0) = (2, 1, 0), T (1, 1) = (2, 0, 2)

I vettori cosí ottenuti sono però espressi rispetto alla base canonica. Indichiamo con

u′_{1} = (1, 1, 0), u′_{2} = (0, 1, 1), u′_{3} = (0, 0, 2)

gli elementi della base B′. Esprimere (2, 1, 0) e (2, 0, 2) rispetto a B′ equivale a risolvere le due equazioni vettoriali: xu′_{1} +yu′_{2} +zu′_{3} = (2, 1, 0) e xu′_{1} +yu′_{2} +zu′_{3} = (2, 0, 2). Consideriamo quindi la matrice associata a tali sistemi, riducendola con le due colonne dei termini noti contemporaneamente:

[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 2 \end{matrix}] ⇒ II − I [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & −1 & −2 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 2 \end{matrix}] ⇒ III − II [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & −1 & −2 \\ 0 & 0 & 2 & | & 1 & 4 \end{matrix}]

Per risolvere l’equazione xu′_{1} + yu′_{2} + zu′_{3} = (2, 1, 0) consideriamo la prima colonna dei termini noti:

\begin{cases}x = 2 \\ y = −1 \\ 2z = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 2 \\ y = −1 \\ z = \frac{1}{2} \end{cases} ⇒

T (1, 0) = (2, 1, 0) = 2u′_{1} − u′_{2} + \frac{1}{2}u′_{3} = (2, −1, \frac{1}{2})_{B′}

Analogamente per risolvere l’equazione xu′_{1} + yu′_{2} + zu′_{3} = (2, 0, 2) consideriamo la seconda colonna dei termini noti:

\begin{cases}x = 2 \\ y = −2 \\ 2z = 4 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 2 \\ y = −2 \\ z = 2 \end{cases} ⇒

T (1, 1) = (2, 0, 2) = 2u′_{1} − 2u′_{2} + 2u′_{3} = (2, −2, 2)_{B′}

Infine

A = [\begin{matrix}2 & 2 \\ −1 & −2 \\ \frac{1}{2} & 2 \end{matrix}]

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Esercizio 8.2 (8.41). Sia V = R^{3} e siano C e B′ = {(1, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 2) } rispettivamente la base canonica e un’altra base di V.

a) Determinare la matrice P = M_{C}^{B′} di transizione da C a B′.

b) Svolgere l’esercizio precedente utilizzando la matrice P.

Soluzione:

a) La matrice P cercata ha per colonne gli elementi di C espressi rispetto a B′. Esprimere gli elementi di C rispetto a B′ equivale a risolvere le tre equazioni vettoriali x·(1, 1, 0)+y·(0, 1, 1)+z·(0, 0, 2) = e_{i}, i = 1, 2, 3. Riduciamo perciò a gradini la matrice formata dagli elementi di B′ con le tre colonne dei termini noti contemporaneamente:

[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ II − I [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒

III − II [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & 1 & −1 & 1 \end{matrix}]

Per esprimere e_{1} otteniamo il sistema relativo alla prima colonna:

\begin{cases}x = 1 \\ y = −1 \\ 2z = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 1 \\ y = −1 \\ z = \frac{1}{2} \end{cases} ⇒ e_{1} = (1, −1, \frac{1}{2})_{B′}

Per esprimere e_{2} otteniamo il sistema relativo alla seconda colonna:

\begin{cases}x = 0 \\ y = 1 \\ 2z = −1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 0 \\ y = 1 \\ z = −\frac{1}{2} \end{cases} ⇒ e_{2} = (0, 1, −\frac{1}{2})_{B′}

Per esprimere e_{3} otteniamo il sistema relativo alla terza colonna:

\begin{cases}x = 0 \\ y = 0 \\ 2z = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 0 \\ y = 0 \\ z = \frac{1}{2} \end{cases} ⇒ e_{3} = (0, 0, \frac{1}{2})_{B′}

Infine

P = M_{C}^{B′} [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}]

Notiamo che per calcolare P = M_{C}^{B′} potevamo in alternativa calcolare e poi invertire la matrice di transizione da B′ a C. Infatti M_{B′}^{C} ha per colonne gli elementi di B′ espressi rispetto a C:

M_{B′}^{C} [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

La matrice P cercata è l’inversa di tale matrice:

P = M_{C}^{B′} = (M_{B′}^{C})^{−1} = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}]

b) Nell’esercizio precedente avevamo calcolato

T (1, 0) = (2, 1, 0), T (1, 1) = (2, 0, 2)

e dovevamo esprimerli rispetto alla base B′. Avendo ora calcolato la matrice P = M_{C}^{B′} di transizione da C a B′, possiamo utilizzare P per calcolare le coordinate cercate:

P · (2, 1, 0)^{T} = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}] · [\begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] = [ 2 ; −1 ; \frac{1}{2}] ⇒ (2, 1, 0) = (2, −1, \frac{1}{2})_{B′}

P · (2, 0, 2)^{T} = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}] · [\begin{matrix}2 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}] = [\begin{matrix}2 \\ −2 \\ 2 \end{matrix}] ⇒ (2, 0, 2) = (2, −2, 2)_{B′}

La matrice cercata è quindi:

A = [\begin{matrix}2 & 2 \\ −1 & −2 \\ \frac{1}{2} & 2 \end{matrix}]

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Esercizio 8.3 (8.55). Si consideri la funzione lineare T : R^{3} → R^{3} la cui matrice rispetto alla base canonica è

M(T) = [\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ −1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix}]

e sia B = {v_{1} = (1, 1, 0), v_{2} = (1, 1, 1), v_{3} = (1, 0, 1)} una base di R^{3}.

a) Si determini la matrice M_{B}^{E}(T) associata a T rispetto alla base B nel dominio e rispetto alla base canonica E nel codominio.

b) Si determini la matrice M_{B}(T) associata a T rispetto alla base B.

Soluzione:

a) La matrice M_{B}^{E}(T) ha per colonne le immagini dei vettori della base B, espresse rispetto alla base canonica. Calcoliamo quindi le immagini dei vettori v_{i}, utilizzando la matrice M(T):

M(T) · v_{1}^{t} = [\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ −1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix}] · [\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}] ⇒ T (v_{1}) = (1, 0, 4)

M(T) · v_{2}^{t} = [\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ −1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix}] · [\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix}4 \\ 1 \\ 5 \end{matrix}] ⇒ T (v_{2}) = (4, 1, 5)

M(T) · v_{3}^{t} = [\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ −1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix}] · [\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix}4 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}] ⇒ T (v_{3}) = (4, 0, 3)

Quindi

M_{B}^{E}(T) = [\begin{matrix}1 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 3 \end{matrix}]

b) La matrice M_{B}^{B}(T) ha per colonne le immagini dei vettori della base B, espresse rispetto alla base B. Dobbiamo quindi esprimere rispetto alla base B i vettori T (v_{i}), trovati al punto precedente. Si tratta di risolvere i tre sistemi xv_{i} + yv_{2} + zv_{3} = T (v_{i}) per i = 1, 2, 3. Per comodità riduciamo a gradini i tre sistemi contemporaneamente, affiancando direttamente le tre colonne dei termini noti:

[\begin{matrix}1 & 1 & 1 & | & 1 & 4 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 4 & 5 & 3 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}I − III \\ II − I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & −3 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & −1 & | & −1 & −3 & −4 \\ 0 & 1 & 1 & | & 4 & 5 & 3 \end{matrix}]

Di conseguenza

xv_{1} + yv_{2} + zv_{3} = T (v_{1}) ⇒ \begin{cases}x = −3 \\ −z = −1 \\ y + z = 4 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = −3 \\ y = 3 \\ z = 1 \end{cases} ⇒

T (v_{1}) = −3v_{1} + 3v_{2} + v_{3} = (−3, 3, 1)_{B}

xv_{1} + yv_{2} + zv_{3} = T (v_{2}) ⇒ \begin{cases}x = −1 \\ −z = −3 \\ y + z = 5 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = −1 \\ y = 2 \\ z = 3 \end{cases} ⇒

T (v_{2}) = −v_{1} + 2v_{2} + 3v_{3} = (−1, 2, 3)_{B}

xv_{1} + yv_{2} + zv_{3} = T (v_{3}) ⇒ \begin{cases}x = 1 \\ −z = −4 \\ y + z = 3 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 1 \\ y = −1 \\ z = 4 \end{cases} ⇒

T (v_{3}) = v_{1} − v_{2} + 4v_{3} = (1, −1, 4)_{B} Infine la matrice associata a T rispetto alla base B è

M_{B}(T) = [\begin{matrix}−3 & −1 & 1 \\ 3 & 2 & −1 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix}]

Notiamo che per calcolare M_{B}(T) = M_{B}^{B}(T) potevamo anche utilizzare le matrici di cambiamento di base. Sia infatti P = M_{B}^{E} la matrice di transizione dalla base B alla base canonica E; P ha per colonne gli elementi di B espressi rispetto a E:

P = M_{B}^{E} = [\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}]

Inoltre la matrice di transizione dalla base canonica E alla base C è l’inversa di P:

M_{E}^{B} = P^{−1} = [\begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ −1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 0 \end{matrix}]

Infine la matrice di T rispetto alla base B è:

M_{B}(T) = M_{B}^{B}(T) = M_{E}^{B} · M(T) · M_{B}^{E} = P^{−1} · M(T) · P = [\begin{matrix}−3 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & −1 \\ 1 & 3 & 4 \end{matrix}]

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Esercizio 8.4 (8.49). Sia T : R^{3} ⇒ R^{3} l’applicazione lineare definita da:

A = [\begin{matrix}1 & −3 & 3 \\ 3 & −5 & 3 \\ 6 & −6 & 4 \end{matrix}]

a) Verificare che l’insieme B = {v_{1} = (1, 1, 0), v_{2} = (−1, 0, 1), v_{3} = (1, 1, 2)} è una base di R^{3}.

b) Determinare la matrice associata a T rispetto alla base B.

Soluzione:

a) Basta verificare che la matrice formata dai tre vettori ha rango 3, ovvero determinante diverso da zero:

det [\begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}] = 1 · (−1) − 1 · (−3) = 2 ≠ 0

Quindi v_{1}, v_{2} e v_{3} sono lineramente indipendenti e formano una base di R^{3}.

b) Come nell’esercizio precedente si può procedere in due modi. Utilizziamo il primo. Calcoliamo le immagini dei vettori v_{i} della nuova base:

T (v_{1}) = A · v_{1} = (−2, −2, 0)
T (v_{2}) = A · v_{2} = (2, 0, −2)
T (v_{3}) = A · v_{3} = (4, 4, 8)

Si tratta ora di esprimere i vettori trovati rispetto alla base B. Notiamo però come la cosa è immediata:

T (v_{1}) = T (1, 1, 0) = (−2, −2, 0) = −2v_{1}  ⇒ T (v_{1}) = (−2, 0, 0)_{B}
T (v_{2}) = T (−1, 0, 1) = (2, 0, −2) = −2v_{2}  ⇒ T (v_{2}) = (0, −2, 0)_{B}
T (v_{3}) = T (1, 1, 2) = (4, 4, 8) = 4v_{3}  ⇒ T (v_{3}) = (0, 0, 4)_{B}

Quindi la matrice associata a T rispetto alla base B è

B = M_{B}(T) = [\begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}]

Notiamo che volendo utilizzare il secondo metodo la matrice M_{B}^{C} di transizione dalla base B alla base canonica C è la matrice che ha per colonne i tre vettori di B (espressi rispetto a C):

P = M_{B}^{C} = [\begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix}]

La matrice M_{C}^{B} di transizione dalla base canonica C alla base B è quindi la matrice inversa: M_{C}^{B} = P^{−1}. Di conseguenza la matrice B associata a T rispetto alla nuova base è P^{−1}AP:

B = M_{B}(T) = P^{−1}AP = [\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix}]

Poiché la matrice M_{B}(T) ottenuta è diagonale, la matrice di transizione P tale che P^{−1}AP = M_{B}(T) è detta diagonalizzante.

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Esercizio 8.5 (9.1). Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell’applicazione lineare T così definita

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (2x_{1} − 2x_{3}, −x_{1} + 2x_{2} + x_{3} + x_{4}, x_{3}, x_{1} − 2x_{3} + x_{4})

Determinare inoltre il relativo autovalore.

Soluzione: Calcoliamo T (v):

T (1, 0, 0, 1) = (2, −1 + 1, 0, 1 + 1) = (2, 0, 0, 2) = 2 · v

Quindi v è autovettore associato all’autovalore 2.

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Esercizio 8.6 (9.2). Sia T : R^{3} → R^{3} l’applicazione lineare definita da

T (x, y, z) = (x, y + 3z, x + y − z)

a) Verificare che i vettori v_{1} = (0, 3, 1), v_{2} = (0, −1, 1) e v_{3} = (−1, 1, 0) sono autovettori di T e determinare i rispettivi autovalori.

b) Verificare che l’insieme B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}} è una base di R^{3}.

c) Determinare la matrice (diagonale) D associata a T rispetto alla base B.

d) Determinare la matrice diagonalizzante P (cioé la matrice P tale che P^{−1}AP = D).

Soluzione:

a) Calcoliamo le immagini dei vettori v_{i}:

T (v_{1}) = T (0, 3, 1) = (0, 6, 2) = 2v_{1},
T (v_{2}) = T (0, −1, 1) = (0, 2, −2) = −2v_{2},
T (v_{3}) = T (−1, 1, 0) = (−1, 1, 0) = v_{3}

quindi v_{1} è autovettore rispetto all’autovalore 2, v_{2} è autovettore rispetto all’autovalore −2, v_{3} è autovettore rispetto all’autovalore 1.

b) Verifichiamo che la matrice associata ai tre vettori v_{1}, v_{2} e v_{3} ha determinante non nullo:

det [\begin{matrix}0 & 0 & −1 \\ 3 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}] = −1 · (3 + 1) ≠ 0

I tre vettori sono quindi linearmente indipendenti e formano una base di R^{3}.

c) Abbiamo già visto che v_{1}, v_{2} e v_{3} sono autovettori, quindi:

T (v_{1}) = 2v_{1} = 2v_{1} + 0v_{2} + 0v_{3} ⇒  T (v_{1}) = (2, 0, 0)_{B}
T (v_{2}) = −2v_{2} = 0v_{1} − 2v_{2} + 0v_{3} ⇒  T (v_{2}) = (0, −2, 0)_{B}
T (v_{3}) = v_{3} = 0v_{1} + 0v_{2} + 1v_{3} ⇒  T (v_{3}) = (0, 0, 1)_{B}

e la matrice associata a T rispetto alla base B è la matrice diagonale

D = M_{B}(T) = [\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Notiamo che D è la matrice che ha sulla diagonale gli autovalori relativi ai tre autovettori che formano la base.

d) Utilizzando il metodo della matrice di transizione per determinare la matrice D, sappiamo che la matrice P = M_{B}^{C} di transizione dalla base B alla base canonica C è la matrice che ha per colonne i tre vettori di B (espressi rispetto a C).

La matrice M_{C}^{B} di transizione dalla base canonica C alla base B è quindi la matrice inversa: M_{C}^{B} = P^{−1}. Di conseguenza la matrice D associata a T rispetto alla nuova base è D = P^{−1}AP. La matrice

P = M_{B}^{C} = [\begin{matrix}0 & 0 & −1 \\ 3 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix}]

è quindi la matrice diagonalizzante cercata.

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