CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

APPLICAZIONI LINEARI – GEOMETRIA 2009/10

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Una Applicazione lineare T : V → W è una funzione tra due spazi vettoriali che gode delle seguenti proprietà:

T (v_{1} + v_{2}) = T (v_{1}) + T (v_{2}) ∀v_{1}, v_{2} ∈ V
T (λv) = λT (v) ∀v ∈ V, λ ∈ R

In particolare se B = {v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} è una base di V e v ∈ V, allora:

T (v) = T (x_{1}v_{1} + ⋯ + x_{n}v_{n}) = x_{1}T (v_{1}) + ⋯ + x_{n}T (v_{n})

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A ogni applicazione lineare può essere associata una matrice A = M(T) che ha per colonne le immagini degli elementi della base di V, espresse rispetto alla base di W. Salvo indicazioni le basi di V e W sono le basi canoniche. Usando la matrice associata

T (V) = A · v ∀v ∈ V

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Una applicazione lineare può essere definita tramite:

• La regola:

T : R^{2} → R^{3} tale che

T (x, y) = (x + y, 2x, x − y)

• Le immagini di una base: T : R^{2} → R^{3} tale che

T (e_{1}) = (1, 2, 1)
T (e_{2}) = (1, 0, −1)

• La matrice associata rispetto a una base:

T : R^{2} → R^{3} tale che la matrice associata rispetto alle basi canoniche è

A = M(T) = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 0 \\ 1 & −1 \end{matrix}]

Se non è specificato, la matrice si intende sempre associata rispetto alle basi canoniche. Le tre precedenti definizioni definiscono la stessa applicazione lineare. ——————————————————————————————————————————————-

L’Immagine Im(T) di una applicazione lineare T : V → W è lo spazio generato dalle immagini degli elementi di una base B = {v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} di V:

Im(T) = {T(v) | v ∈ V} = ⟨T(v_{1}), …, T(v_{n})⟩ ⊆ W

Utilizzando la matrice A = M(T) associata:

• Im(T) = spazio generato dalle colonne di A (Prestare attenzioni se le basi di V e W non sono quelle canoniche)

• B(Im(T)) = { colonne linearmente indipendenti di A } (Prestare attenzioni se le basi di V e W non sono quelle canoniche).

• dim(Im(T)) = rg(A)

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Il Nucleo ker(T) di una applicazione lineare T : V → W è il sottospazio di V formato dagli elementi la cui immagine è lo 0:

ker(T) = {v ∈ V | T (v) = 0} ⊆ V

Utilizzando la matrice A associata:

• ker(T) = { soluzioni del sistema omogeneo associato a A } (Prestare attenzione se le basi di U e di V non sono quelle canoniche).

• dim(ker(T)) = n − rg(A), dove n = dim(V) = numero delle incognite del sistema lineare.

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• Il teorema di Nullità più rango afferma che se T : V → W è un’applicazione lineare, allora

dim(ker(T)) + dim(Im(T)) = n = dim(V)

• Una applicazione è detta Iniettiva se dim(ker(T)) = 0, cioè se ker(T) = {0}.

• Una applicazione è detta Suriettiva se dim(Im(T)) = dim(W), cioè se Im(T) = W.

• Una applicazione è detta Biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva. Un’applicazione è invertibile sse è biiettiva.

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Bisogna prestare particolare attenzione quando l’applicazione non è definita sulle basi canoniche.