CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

ENDOMORFISMI SIMMETRICI E TEOREMA SPETTRALE – GEOMETRIA 2008/09

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Endomorfismo simmetrico: T : V → V tale che:

(T (u), v) = (u, T (v)) ∀u, v ∈ V

Proprietà : Se T è un endomorfismo e A è la matrice associata a T rispetto a una base ortonormale, allora:

• T è simmetrico ⇔ A è simmetrica (cioè A = A^{T}).

• T ha n autovalori reali (contati con la loro molteplicità).

• Autovettori relativi a autovalori distinti sono ortogonali. ——————————————————————————————————————————————-

Matrice ortogonale: P è una matrice ortogonale se

P · P^{T} = I ovvero P^{−1} = P^{T}

Notiamo che det(P) = ±1, e P è detta ortogonale speciale se det(P) = 1. ——————————————————————————————————————————————-

Teorema spettrale

• Se T è un endomorfismo simmetrico di V, allora esiste una base ortonormale di V formata da autovettori di T. In particolare T è diagonalizzabile, cioè esiste una base (ortonormale) di V rispetto alla quale la matrice associata a T è diagonale.

• Se A è una matrice simmetrica, allora A è simile a una matrice diagonale D (ovvero A è diagonalizzabile). Inoltre la matrice diagonalizzante P è una matrice ortogonale:

P^{−1}AP = P^{T} AP = D