CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

RETTE E PIANI – GEOMETRIA 2008/09

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• In R^{2} l’equazione parametrica della retta passante per P (x_{0}, y_{0}) e di direzione parallela al vettore u = (u_{1}, u_{2}) è:

r : \begin{cases}x = x_{0} + u_{1}t \\ y = y_{0} + u_{2}t \end{cases} ∀t ∈ R

• In R^{2} la generica equazione cartesiana di una retta è:

r : ax + by + k = 0

• In R^{3} l’equazione parametrica della retta passante per P (x_{0}, y_{0}, z_{0}) e di direzione parallela al vettore u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) è:

r : \begin{cases}x = x_{0} + u_{1}t \\ y = y_{0} + u_{2}t \\ z = z_{0} + u_{3}t \end{cases} ∀t ∈ R

• In R^{3} la generica equazione cartesiana di una retta è data dall’intersezione di due piani:

r : \begin{cases}a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = k_{1} \\ a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = k_{2} \end{cases}

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• In R^{3} l’equazione parametrica del piano passante per P (x_{0}, y_{0}, z_{0}) e di direzioni parallele ai vettori u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) e v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) è:

π : \begin{cases}x = x_{0} + u_{1}t + v_{1}s \\ y = y_{0} + u_{2}t + v_{2}s \\ z = z_{0} + u_{3}t + v_{3}s \end{cases} ∀s, t ∈ R

• In R^{3} la generica equazione cartesiana di un piano è :

π : ax + by + cz = k

Il vettore (a, b, c) ha direzione perpendicolare al piano. ——————————————————————————————————————————————-

• Due rette r_{1} e r_{2} sono parallele se hanno la stessa direzione, ovvero se i rispettivi vettori direzione sono proporzionali.

• In R^{3} due rette r_{1} e r_{2} sono sghembe se non sono parallele e non si intersecano.

• In R^{3} due rette r_{1} e r_{2} sono complanari se non sono sghembe, ovvero se sono parallele oppure si intersecano.

• Due piani π_{1} e π_{2} sono paralleli se non si intersecano. Analogamente due piani π_{1} : a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = k_{1} e π_{2} : a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = k_{2} sono paralleli se i vettori (a_{1}, b_{1}, c_{1}) e (a_{2}, b_{2}.c_{2}) sono proporzionali.

• Una retta r è perpendicolare al piano π : ax + by + cz = k se r ha direzione parallela al vettore

u = (a, b, c). ——————————————————————————————————————————————-

• Dati due vettori u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) e v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) di R^{3} chiamiamo prodotto scalare di u e v il numero:

(u, v) = u · v^{T} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3}.

• Date due rette r_{1} parallela a un vettore u e r_{2} parallela a un vettore v, l’angolo ϑ tra le due rette è dato da:

cos(ϑ) = \frac{(u, v)}{|u| · |v|} = \frac{u · v^{T}}{|u| · |v|},

dove |u| =norma di u= lunghezza di u =\sqrt{(u, u)} = \sqrt{u · u^{T}}. ——————————————————————————————————————————————-

• Dati due vettori u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}) e v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) di R^{3} chiamiamo prodotto vettoriale di u e v il vettore:

u × v = (u_{2}v_{3} − u_{3}v_{2}, u_{3}v_{1} − u_{1}v_{3}, u_{1}v_{2} − u_{2}v_{1}) == det [\begin{matrix}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{matrix}]

• L’Area di un parallelogramma in R^{2}, di lati u = (u_{1}, u_{2}), v = (v_{1}, v_{2}) è:

Area(parallelogramma) = |u_{1}v_{2} − u_{2}v_{1}| = |det [\begin{matrix}u_{1} & u_{2} \\ v_{1} & v_{2} \end{matrix}]|

• L’Area di un parallelogramma in R^{3}, di lati u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) è data dalla lunghezza (norma) |u × v| del vettore u × v prodotto vettoriale di u e v:

Area(parallelogramma) = |u × v|,

• Il volume del parallelepipedo di lati u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), v = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) e w = (w_{1}, w_{2}, w_{3}) è uguale al valore assoluto del prodotto misto (u, v × w):

Volume(parallelepipedo) = |(u, v × w)| = |det [\begin{matrix}u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ v_{1} & v_{2} & v_{3} \\ w_{1} & w_{2} & w_{3} \end{matrix}]|

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