CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 11 – GEOMETRIA 2008/09

Esercizio 11.1. [13.14] Si consideri la matrice

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}]

a) Calcolare autovalori e autovettori di A.

b) Calcolare una matrice diagonalizzante di A, che sia ortogonale e rappresenti una rotazione dello spazio attorno all’origine.

c) Scrivere la forma canonica della conica C con matrice associata A

Esercizio 11.2. [8.16] Si consideri il seguente endomorfismo di R^{4}

T (x, y, z, w) = (−x + z, 2y, x − 2z, w)

a) Si determino le dimensioni di immagine e nucleo di T e si stabilisca se T è invertibile.

b) Si determini l’inversa T^{−1}.

Esercizio 11.3. [8.51] Dati i vettori di R^{3}

v_{1} = (1, 0, 1), v_{2} = (0, 2, 2), v_{3} = (1, 1, 0),

si consideri la funzione lineare T : R^{3} → R^{3} definita da

T (v_{1}) = (2, 0, 0), T (v_{2}) = (4, 4, 4), T (v_{3}) = (0, 6, 6)

a) Si determini la matrice M(T) associata a T rispetto alla base canonica.

b) Si determini una base del nucleo e dell’immagine di T.

Esercizio 11.4. [11.9] Si consideri il seguente endomorfismo di R^{3}

T (x, y, z) = (ax, bx + y + z, y + z)

con a e b parametri reali.

a) Si discuta la diagonalizzabilità di T al variare di a e b in R.

b) Posto a = b = 0 si determini una base ortonormale di R^{3} formata da autovettori di T.

Esercizio 11.5. [12.24] Siano M = (1, 1, 1), N = (3, 2, 1), L = (1, 2, 2) punti dello spazio R^{3}. Sia C = (−1, 0, 1).

a) Si calcoli l’area del triangolo MNL.

b) Si determini l’insieme M′N′L′ che si ottiene proiettando il triangolo MNL dal centro C sul piano x + y = 0.

c) Si calcoli l’area del triangolo M′N′L′.

Esercizio 11.6. [13.16] Sia C la conica di equazione

C : 3x^{2} + 14xy − 5y^{2} − 10x + 14y = 0

a) Stabilire il tipo di conica.

b) Nel caso sia una conica a centro, trovare le coordinate del centro.

c) (Facoltativo) Trovare equazioni degli eventuali asintoti della conica.

Esercizio 11.7. Si consideri la funzione lineare T : R^{3} → R^{4} definita da

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1} − x_{2} + 2x_{3}, x_{2} + x_{3}, x_{1} − x_{2} + x_{3}, kx_{1} + 3x_{2} − 3x_{3})

a) Si calcoli la dimensione del nucleo e dell’immagine di T al variare di k.

b) Si dica se esistono valori del parametro reale k per i quali T è iniettivae/o suriettiva.

c) Esistono valori di k per i quali il vettore v(1, 1, 0, 0) appartiene all’immagine di T?

Esercizio 11.8. [9.27] Sia T l’endomorfismo di R^{3} associato alla matrice

A = [\begin{matrix}6 & 3 & −1 \\ 2 & 7 & −1 \\ 2 & 3 & 3 \end{matrix}]

a) Stabilire se 4 è autovalore di A. Calcolare gli autovalori e autovettori di A.

b) La matrice A è diagonalizzabile per similitudine? In caso affermativo, indicare una matrice diagonalizzante.

c) Sia C la matrice dipendente da t ∈ R:

C = [\begin{matrix}4 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & t \end{matrix}]

Esistono valori di t ∈ R per cui A e C siano simili?

Esercizio 11.9. [11.15] Sia T : R^{3} → R^{3} l’endomorfismo avente come autovettori i vettori v_{1} = (1, 1, 0), v_{2} = (0, 1, 1), v_{3} = (0, 0, 1), rispetto agli autovalori 1, 1, 2.

a) Calcolare la matrice A che rappresenta T rispetto alla base canonica.

b) T è invertibile?

c) T è un endomorfismo simmetrico?

Esercizio 11.10. [10.19] Siano v_{1} = (2, 1, 1, 0) e v_{2} = (−1, 1, 2, 0) e sia V = ⟨v_{1}, v_{2}⟩ ⊂ R^{4}. a) Calcolare l’angolo tra v_{1} e v_{2}.

b) Trovare una base del complemento ortogonale di V.