CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 10 – GEOMETRIA 2008/09

Esercizio 10.1. [11.1] [Esercizio 15) cap. 9 del testo Geometria e algebra lineare di Manara, Perotti, Scapellato.] Calcolare una base ortonormale di R^{3} formata da autovettori per le matrici

A = [\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}1 & 3 & 0 \\ 3 & −2 & −1 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix}]

Esercizio 10.2. [11.2] Per ognuna delle seguenti matrici simmetriche A si determini una matrice ortogonale P per la quale P^{T} AP sia diagonale

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −2 \end{matrix}] A = [\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 1 & −1 & 2 \end{matrix}]

Esercizio 10.3. [11.7] Si consideri la matrice reale simmetrica

A = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & −1 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix}]

a) Trovare una base ortonormale di R^{3} costituita da autovettori di A.

b) Determinare una matrice ortogonale P tale che P^{T} AP sia diagonale.

Esercizio 10.4. [11.10] Sia T l’endomorfismo di R^{3} a cui è associata la matrice

A = [\begin{matrix}2 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix}] .

rispetto alla base B = { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1) } . T è un endomorfismo simmetrico?

Esercizio 10.5. [11.11] Sia T l’endomorfismo di R^{3} a cui è associata la matrice

A = [\begin{matrix}6 & 1 & 3 \\ −3 & 1 & −2 \\ −3 & −1 & −1 \end{matrix}] .

rispetto alla base

B = { (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1) } .

a) T è un endomorfismo simmetrico?

b) T è diagonalizzabile?

Esercizio 10.6. [11.15] Sia T : R^{3} → R^{3} l’endomorfismo avente come autovettori i vettori v_{1} = (1, 1, 0), v_{2} = (0, 1, 1), v_{3} = (0, 0, 1), rispetto agli autovalori 1, 1, 2.

a) Calcolare la matrice A che rappresenta T rispetto alla base canonica.

b) T è invertibile?

c) T è un endomorfismo simmetrico?

Esercizio 10.7. [11.13] Sia T l’endomorfismo di R^{3} così definito:

T (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (2x_{1}, 2x_{2} + \sqrt{3}x_{3}, \sqrt{3}x_{2})

a) Stabilire se T è invertibile.

b) Mostrare che T è un endomorfismo simmetrico.

c) Trovare una base ortonormale di R^{3} che diagonalizza T.

Esercizio 10.8. [13.4] Siano assegnate le seguenti coniche non degeneri f(x, y) = 0:

(1) 9x^{2} + 4xy + 6y^{2} − 10 = 0
(2) x^{2} + 6xy + y^{2} + 2x + y + \frac{1}{2} = 0
(3) 5x^{2} + 5y^{2} − 6xy + 16\sqrt{2}x + 38 = 0
(4) 25x^{2} − 7y^{2} + 48y + 7 = 0
(5) x^{2} + 4xy + 4y^{2} − 6x + 1 = 0

Per ognuna di esse: a) Determinare la matrice A della forma quadratica associata alla conica.

b) Stabilire se si tratta di un’iperbole, ellisse o parabola.

c) Se si tratta di una conica a centro (ellisse o iperbole), determinarne il centro e gli assi. Se si tratta di una parabola, determinarne il vertice e l’asse.

Esercizio 10.9. [13.5] Riconoscere che le seguenti coniche f(x, y) = 0 sono degeneri e determinare le equazioni delle rette che le formano. Se si tratta di una conica a centro determinarne il centro.

(1) x^{2} + 2xy + y^{2} + 3x + 3y = 0
(2) x^{2} + 9y^{2} − 6xy + 2x − 6y + 1 = 0
(3) x^{2} + xy − 2y^{2} + 3y − 1 = 0

Esercizio 10.10. [13.6] Ridurre in forma canonica le seguenti coniche:

a) 5x^{2} + 5y^{2} − 6xy + 16\sqrt{2}x + 38 = 0
b) 25x^{2} − 7y^{2} + 48y + 7 = 0
c) x^{2} + 4xy + 4y^{2} − 6x + 1 = 0

Esercizio 10.11. [13.7] Ridurre in forma canonica le coniche dell’esercizio precedente e determinare il cambiamento di coordinate necessario per passare da una forma all’altra.

Esercizio 10.12. [13.8] Sia C la conica di equazione

C : 2xy − x − 3y = k

(1) Stabilire per quali valori di k la conica C è degenere.

(2) Posto k = 0, stabilire di quale tipo di conica si tratti.

(3) Trovare gli assi (o l’asse) di simmetria di C.

Esercizio 10.13. [13.9] Sia k un parametro reale. Si consideri la famiglia di coniche C_{k} di equazione

C_{k} : 2kx^{2} + 2(k − 2)xy − 4y^{2} + 2x = 1.

a) Esistono coniche degeneri nella famiglia?

b) Si classifichi la conica C_{k} al variare di k.

c) Si determinino le coordinate dei centri delle coniche C_{k} (quando esistono).

Esercizio 10.14. [13.11] Sia C_{k} la conica di equazione

C_{k} : x^{2} + kxy + y^{2} − 4 = 0 (k parametro reale)

a) Al variare di k ∈ R, riconoscere di quale tipo di conica si tratti.

b) Trovare le coniche degeneri della famiglia.

c) Mostrare che tutte le ellissi appartenenti alla famiglia sono reali.

Esercizio 10.15. [13.13] Fissato il parametro reale t, sia C_{t} la conica di equazione

C_{t} : tx^{2} + 2xy + (t + 2)y^{2} − 2y = 0

a) Stabilire se esistono valori di t per cui la conica è degenere.

b) Determinare il tipo di conica al variare del parametro t.

c) Scrivere la forma canonica di C_{t} per t = −1.