CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 9 – GEOMETRIA 2008/09

Esercizio 9.1. [10.7] Siano assegnati i seguenti vettori di R^{4}:

v = (2, −1, 0, 1), w = (−1, 2, 0, 2)

a) Si calcoli l’angolo tra i due vettori.

b) Si determini la proiezione ortogonale di v su w.

c) Si scriva v come somma di un vettore v_{1} multiplo di w e di un vettore v_{2} ortogonale a w. Esercizio 9.2. [10.8] Si ripeta l’esercizio precedente con i seguenti vettori di R^{3}

v = (3, 4, −2), w = (2, 1, −1)

Esercizio 9.3. [10.11] Data la base

B = {v_{1} = (−1, 0, 1), v_{2} = (0, 1, 0), v_{3} = (1, 0, 1)}

di R^{3}, si determini una base ortonormale di R^{3} utilizzando il procedimento di Gram-Schmidt a partire da B. Esercizio 9.4. [10.12] Si ripeta l’esercizio precedente partendo dalla base

B = {v_{1} = (1, 1, 1), v_{2} = (0, 1, 1), v_{3} = (0, 0, 1)}

Esercizio 9.5. [10.14] Sia W il sottospazio di R^{4} (con il prodotto scalare canonico) generato dai vettori

v_{1} = (1, 1, 0, 1), v_{2} = (1, −2, 0, 0), v_{3} = (1, 0, −1, 2).

a) Trovare una base ortonormale di W.

b) Trovare una base del complemento ortogonale di W. Esercizio 9.6. [10.15] Si considerino i vettori di R^{3}

v_{1} = (1, 2, 1), v_{2} = (1, 1, 1).

a) Calcolare le lunghezze di v_{1} e di v_{2}.

b) Determinare la proiezione ortogonale di v_{1} su v_{2}.

c) Trovare una base ortonormale del sottospazio di R^{3} generato dai vettori v_{1} e v_{2}. Esercizio 9.7. [10.16] Sia U il sottospazio di R^{3} costituito dai vettori (x_{1}, x_{2}, x_{3}) tali che 2x_{1} + x_{2} = 0.

Si determini una base ortonormale di U rispetto al prodotto scalare ordinario di R^{3}. Esercizio 9.8. [10.21] Sia T : R^{3} → R^{2} la funzione lineare tale che

T (1, −2, 1) = (2, 1), T (1, 0, 0) = (−1, 2), T (0, 1, 0) = (−1, 0).

a) Che dimensione ha l’immagine di T?

b) Si determini una base ortonormale (rispetto al prodotto scalare canonico di R^{3}) del nucleo di T. Esercizio 9.9. [11.3] Sia T l’endomorfismo di R^{3} con matrice associata

A = [\begin{matrix}4 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & −1 \\ 0 & −1 & 5 \end{matrix}]

rispetto alla base canonica.

a) Stabilire se l’endomorfismo T é diagonalizzabile.

b) Trovare basi ortonormali degli autospazi di T (rispetto al prodotto scalare canonico di R^{3}).

c) Trovare una base ortonormale di R^{3} formata da autovettori di T.

2 FOGLIO DI ESERCIZI 9 – GEOMETRIA 2008/09

Esercizio 9.10. [11.5] Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}6 & 0 & −2 \\ 0 & 5 & 0 \\ −2 & 0 & 9 \end{matrix}] .

Trovare una base ortonormale di R^{3} costituita da autovettori di A. Esercizio 9.11. [11.9] Si consideri il seguente endomorfismo di R^{3}

T (x, y, z) = (ax, bx + y + z, y + z)

con a e b parametri reali.

a) Si discuta la diagonalizzabilità di T al variare di a e b in R.

b) Posto a = b = 0 si determini una base ortonormale di R^{3} formata da autovettori di T.