CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 8 – GEOMETRIA 2008/09

Esercizio 8.1. Utilizzando le coordinate omogenee, determinare l’equazione della retta r passante per i punti A(2, 3) e B(−1, 0) e della retta s passante per A e di direzione \overrightarrow{v}(1, 2). Determinare inoltre il punto improprio di r e s.

Esercizio 8.2. Utilizzando le coordinate omogenee, determinare l’equazione del piano π_{1} passante per i punti A(2, 3, 0), B(3, 1, −1) e C(0, 0, 1) e del piano π_{2} passante per A e B e parallelo alla retta x + y = x − z = 0.

Esercizio 8.3. Stabilire se il piano di coordinate omogenee N = (1, −2, 0, −3) passa per il punto P (1, −1, 2).

Esercizio 8.4. Determinare un’equazione parametrica della retta passante per i punti A(1, 2, −5) e B(−1, 0, 3), e trovarne il punto all’infinito.

Esercizio 8.5. Si consideri la proiezione centrale T sul piano x + y = 1 dal centro C(1, 2, −1). Dopo avere determinato la matrice di T, stabilire in cosa vengono trasformati i punti A(1, 5, 0) e B(1, 0, 0).

Esercizio 8.6. Determinare la matrice della proiezione parallela T sul piano x − y + 2z = 0 di direzione \overrightarrow{v} = (1, 0, −1). Dopo avere determinato la matrice di T, stabilire in cosa viene trasformata la retta r : x + y = z = 0.

Esercizio 8.7. Sia π il piano di equazione x + 2y − z = 0 e C il punto di coordinate (0, 1, −1). a) Si determini la matrice della proiezione dal centro C sul piano di vista π.

b) Si trovino equazioni delle proiezioni delle rette

r : x + y = x + z − 1 = 0 s : x = y = z + 1

Esercizio 8.8. Sia π il piano di equazione 3x − y + z = 1 e \overrightarrow{v} il vettore (1, 1, 1).

a) Si determini la matrice della proiezione parallela nella direzione di \overrightarrow{v} sul piano di vista π.

b) Stabilire se si tratta di una proiezione ortogonale o obliqua.

Esercizio 8.9. [12.24] Siano M = (1, 1, 1), N = (3, 2, 1), L = (1, 2, 2) punti dello spazio R^{3}. Sia C = (−1, 0, 1).

a) Si calcoli l’area del triangolo MNL.

b) Si determini l’insieme M′N′L′ che si ottiene proiettando il triangolo MNL dal centro C sul piano x + y = 0.

c) Si calcoli l’area del triangolo M′N′L′.