CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

FOGLIO DI ESERCIZI 1– GEOMETRIA 2008/09

Esercizio 1.1. [2.2] Determinare l’equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i punti A(1, 0, 2) e B(3, −1, 0).

(b) Passante per il punto P (1, 3, 1) e parallela al vettore \overrightarrow{OQ} = (2, 0, 0).

(c) Di equazioni Cartesiane

\begin{cases}y = 3x + 1 \\ y − x + z = 0 \end{cases}

Determinare inoltre un punto appartenente a tale retta.

Esercizio 1.2. [2.3]

a) Determinare l’equazione parametrica e Cartesiana del piano π passante per i punti A(1, 3, 1), B(2, 0, 0) e C(0, 1, 1). Il punto P (0, 2, 0) appartiene a tale piano?

b) Determinare una equazione della retta passante per A ortogonale a π.

Esercizio 1.3. [2.4] Sia r la retta di R^{3} passante per i punti A(1, −1, 2) e B(−2, 0, 1), e sia s la retta contenente C(1, 3, −3) e parallela al vettore \overrightarrow{OD}(2, −2, 3).

a) Determinare la posizione reciproca delle due rette (cioè se sono incidenti, parallele o sghembe).

b) Se sono incidenti determinarne il punto di intersezione.

Esercizio 1.4. [2.5]

a) Determinare la posizione reciproca (cioè se sono incidenti, parallele o sghembe) delle rette r e r′ di equazioni parametriche:

r : \begin{cases}x = 2t \\ y = t + 1 \\ z = t + 3 \end{cases} r′ : \begin{cases}x = s \\ y = 2 \\ z = s + 2 \end{cases}

b) Se le rette sono incidenti determinare l’ampiezza dell’angolo tra esse.

Esercizio 1.5. [2.7]

a) Determinare equazioni parametriche della retta r passante per i punti A = (2, 3, 1) e B = (0, 0, 1) e della retta s passante per i punti C = (0, 0, 0) e D = (4, 6, 0).

b) Stabilire se r e s sono complanari. In caso affermativo, trovare un’equazione cartesiana del piano contenente r e s.

Esercizio 1.6. [2.9] Si considerino le rette di equazioni cartesiane

r : \begin{cases}x + 2y = 0 \\ y − z = 0 \end{cases} s : \begin{cases}2x = 0 \\ x + y + z = 0 \end{cases}

a) Dopo avere verificato che le due rette sono incidenti, determinare l’equazione cartesiana della retta passante per P (1, 1, 1) e incidente r e s.

b) Determinare l’equazione cartesiana del piano passante per C(1, 2, −3) e perpendicolare a r.

c) Determinare equazioni cartesiane della retta passante per il punto P = (1, 1, 1) e perpendicolare alle due rette r e s.

Esercizio 1.7. [2.10] Sia r la retta nello spazio passante per i punti A = (0, 0, 1) e B = (−2, −1, 0). Sia s la retta passante per i punti C = (1, 1, 1) e D = (−1, 0, 0).

a) Mostrare che le due rette sono complanari e trovare un’equazione del piano π che le contiene.

b) Trovare equazioni parametriche della retta per l’origine ortogonale al piano π del punto a).

Esercizio 1.8. [2.13] Si considerino i piani dello spazio

π : x − y + z = 0  e  π′ : 8x + y − z = 0.

a) Stabilire la posizione reciproca dei due piani.

b) Trovare un’equazione cartesiana del piano passante per P = (1, 1, 1) e perpendicolare ai piani π e π′.

Esercizio 1.9. [2.19] Si considerino i piani π_{1}, π_{2}, π_{3} di equazioni

π_{1} : z − 3 = 0
π_{2} : x + y + 2 = 0
π_{3} : 3x + 3y − z + 9 = 0

e la retta r = π_{1} ∩ π_{2}.

a) Si stabilisca se il piano π_{3} contiene r.

b) Si trovi un’equazione cartesiana del piano π_{4} passante per l’origine e contenente r.

c) Si calcoli la proiezione ortogonale dell’origine sul piano π_{1}.

Esercizio 1.10. [2.21] Si considerino la retta r di equazione

r : \begin{cases}x = 2 + t \\ y = −3 − 2t \\ z = 1 \end{cases}

e la famiglia di piani π_{k} : 2x + ky − z = 1 dove k è un parametro reale.

Si determini per quali k il piano π_{k} risulta parallelo a r.

Esercizio 1.11. [2.23] Verificare che i quattro punti

P_{1} = (1, 2, 1), P_{2} = (2, 1, 0), P_{3} = (−1, 0, −1), P_{4} = (0, 0, −1)

sono complanari e determinare un’equazione cartesiana del piano che li contiene.

Esercizio 1.12. [12.16] Determinare per quali valori di k il triangolo di vertici A_{1}(0, 0), A_{2}(4, 2) e A_{3}(1, k) ha area 5.

Esercizio 1.13. [12.23] Siano A = (0, −1, 0), B = (−2, 0, −3), C = (−1, 0, −1) punti dello spazio. a) Calcolare l’area del triangolo di vertici A, B, C.

b) Stabilire se il punto D = (2, 2, 2) appartiene al piano contenente A, B, C.

c) Eseiste un’isometria che trasforma i punti A, B, C nei punti O = (0, 0, 0), P = (1, 0, 2) e Q = (1, 1, 1) rispettivamente?

Esercizio 1.14. [12.19] Calcolare il volume del parallelepipedo di lati u(1, 0, 0), v(−3, 1, 1) e w(−2, 2, 5).

Esercizio 1.15. [12.20] Siano P_{1} = (1, −1, 0), P_{2} = (1, 0, −1), P_{3} = (1 + \frac{2}{\sqrt{3}}, −\frac{1}{\sqrt{3}}, −1 − \frac{1}{\sqrt{3}}), e P_{4} = (1, 2, 1) quattro punti nello spazio.

a) Calcolare l’angolo tra i vettori \overrightarrow{P_{1}P_{2}} e \overrightarrow{P_{2}P_{3}}.

b) Calcolare il volume del prisma con base il triangolo P_{1}P_{2}P_{3} e lato il segmento P_{1}P_{4}.

Esercizio 1.16. [12.22] Si considerino i piani π_{1}, π_{2}, π_{3} di equazioni:

π_{1} : 2x − y = 1,  π_{2} : x + y + z = 0,  π_{3} : x − 2z = 1.

a) Si determini l’insieme intersezione dei tre piani.

b) Si trovi il piano π_{4} passante per l’origine e perpendicolare alla retta r = π_{1} ∩ π_{2}.

c) Si determini l’area del triangolo di vertici A, B, C, con A = π_{1} ∩ π_{2} ∩ π_{3}, B = π_{1} ∩ π_{3} ∩ π_{4}, C = π_{2} ∩ π_{3} ∩ π_{4}.