CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA

CONICHE – GEOMETRIA 2008/09

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Equazione

A ogni conica f(x, y) = 0, possiamo associare due matrici quadrate simmetriche: la matrice A ∈ M_{2×2} relativa alla forma quadratica associata alla conica, e la matrice A′ ∈ M_{3×3}:

A = [\begin{matrix}coeff. di x^{2} & 1/2 coeff. di xy \\ 1/2 coeff. di xy & coeff. di y^{2} \end{matrix}] ,

A′ = [ \begin{matrix}A & h \\ h^{T} & k \end{matrix}] dove h = [\begin{matrix}1/2 coeff. della x \\ 1/2 coeff. della y \end{matrix}] , k = termine noto dell’equazione

Di conseguenza l’equazione della conica è f(x, y) = [x, y, 1] · A′ · [x, y, 1]^{T} = 0. Possiamo inoltre definire gli invarianti ortogonali dell’equazione della conica.

• Invariante cubico: I_{3} = det(A′),

• Invariante quadratico: I_{2} = det(A),

• Invariante lineare: I_{1} = traccia di A = somma degli elementi della diagonale di A = somma

degli autovalori di A. ——————————————————————————————————————————————-

Classificazione.

• Una conica è non degenere se I_{3} = det(A′) ≠ 0. Inoltre è:

– Ellisse: se gli autovalori sono concordi, ovvero se I_{2} = det(A) > 0.

– Iperbole: se gli autovalori sono discordi, ovvero se I_{2} = det(A) < 0.

– Parabola: se ha un autovalore nullo, ovvero se I_{2} = det(A) = 0.

• Una conica è degenere se I_{3} = det(A′) = 0. Inoltre:

– Se rg(A′) = 2 è semplicemente degenere, ovvero si tratta di una coppia di rette distinte (reali o immaginarie).

– Se rg(A′) = 1 è doppiamente degenere, ovvero si tratta di una coppia di rette coincidenti.

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Centro e assi o vertice e asse.

• Centro – Iperbole e ellisse sono coniche a centro. Il centro si determina risolvendo il sistema:

A · [\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}] = −h

– Se la conica è degenere e si tratta di una coppia di rette incidenti, si tratta di una conica a centro. Il centro è il punto di intersezione delle due rette e può anche essere determinato come per le coniche a centro non degeneri.

• Assi

– Gli assi di iperbole e ellisse sono le rette passanti per il centro, aventi direzioni parallele agli autovettori di A.

– L’asse della parabola è una retta di direzione parallela all’autovettore relativo all’autovalore nullo passante per il vertice. Il vertice è dato dall’intersezione dell’asse con la parabola. Non avendo in generale il vertice, per determinare l’asse si può:

∗ Determinare la direzione dell’asse.

∗ Determinare la generica equazione di una retta r perpendicolare all’asse.

∗ Determinare i punti di intersezione D e E di r con la parabola.

∗ Determinare il punto medio M del segmento DE.

∗ L’asse è la retta per M di direzione parallela all’autovettore relativo all’autovalore nullo.

∗ Una volta nota l’equazione dell’asse si può ricavare il vertice.

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Rotazione.

La matrice A è simmetrica, quindi esiste una matrice R ortogonale speciale detta matrice di rotazione:

R^{T} AR = D = [\begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix}] dove λ_{i} sono autovalori di A

La matrice R si ottiene dagli autovettori di A (normalizzati e con i segni in modo che det(R) = 1). ——————————————————————————————————————————————-

Forma canonica.

Per ottenere la forma canonica di una conica non degenere, ovvero una delle forme:

• ax^{2} + by^{2} − 1 = 0, ellisse reale,

• ax^{2} + by^{2} + 1 = 0, ellisse immaginario,

• ax^{2} − by^{2} − 1 = 0, iperbole,

• x^{2} − 2py = 0, parabola, possiamo utilizzare gli invarianti.

• Calcoliamo I_{3} = det(A′) per verificare che la conica non sia degenere.

• Calcoliamo gli autovalori λ_{1}, λ_{2} di A e stabiliamo di quale conica si tratta.

• Se si tratta di un’ellisse o un’iperbole sappiamo che dobbiamo arrivare a una equazione del tipo ax^{2} ± by^{2} ± 1 = 0, passando attraverso una equazione del tipo

λ_{1}X^{2} + λ_{2}Y^{2} + t = 0 ⇔ B = [\begin{matrix}λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & t \end{matrix}] con λ_{1}, λ_{2} autovalori di A

Poiché I_{3} è un invariante, imponendo la condizione det(A′) = det(B) possiamo ricavare il valore di t. Dividendo infine per t o −t si ottiene la forma canonica.

• Se si tratta di una parabola sappiamo che dobbiamo arrivare a una equazione del tipo x^{2}−2py = 0, passando attraverso una equazione del tipo

λX^{2} + 2tY = 0 ⇔ B = [\begin{matrix}λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & t \\ 0 & t & 0 \end{matrix}] con λ autovalore non nullo di A

Poiché I_{3} è un invariante, imponendo la condizione det(A′) = det(B) possiamo ricavare il valore di t. Dividendo infine per λ si ottiene la forma canonica.

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Equazioni della trasformazione.

Passando da un’equazione f(x, y) = alla corrispondente forma canonica f(X, Y) = 0 abbiamo effettuato un cambiamento di base corrispondente a una rotazione R (definita dagli autovettori di A) e una traslazione definita dal centro C(x_{0}, y_{0}) o dal vertice V (x_{0}, y_{0}) della conica. Il cambio di coordinate è dato da

[\begin{matrix}x \\ y \end{matrix}] = R [\begin{matrix}X \\ Y \end{matrix}] + [\begin{matrix}x_{0} \\ y_{0} \end{matrix}]

[\begin{matrix}X \\ Y \end{matrix}] = R^{T} [\begin{matrix}x − x_{0} \\ y − y_{0} \end{matrix}]

dove R è la matrice di rotazione, ovvero la matrice diagonalizzante ortogonale speciale associata a A. ——————————————————————————————————————————————-

Coniche degeneri.

Per determinare le equazioni delle rette che formano che le coniche degeneri si deve risolvere una equazione di secondo grado in cui si considera la x come variabile e la y come parametro, o viceversa.

• Se la conica è semplicemente degenere (rg(A′) = 2) si ottengono due rette distinte.

• Se la conica è doppiamente degenere (rg(A′) = 1) si ottiene una sola retta.

• Se la conica è a centro (det(A) ≠ 0, quindi rg(A′) = 2) si ottengono due rette incidenti nel centro.

• Se è una parabola degenere (det(A) = 0, ma rg(A′) = 2) si ottengono due rette parallele.