CAPITOLO 6 Determinante e inversa di una matrice

Esercizio 6.1. Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A = [\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & −2 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}−11 & 3 \\ 2 & 0 \end{matrix}]

C = [\begin{matrix}2 & 3 & −2 \\ 1 & −2 & 0 \\ 0 & −1 & 2 \end{matrix}]  D = [\begin{matrix}2 & −2 & −2 \\ 1 & 1 & 0 \\ −3 & 4 & 0 \end{matrix}]  F = [\begin{matrix}7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ −3 & 4 & −3 \end{matrix}]

Esercizio 6.2. Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A_{1} = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}]  A_{2} = [\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]  A_{3} = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}]

A_{4} = [\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}]  A_{5} = [\begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}]  A_{6} = [\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix}]

Esercizio 6.3. Calcolare il rango della seguente matrice A, utilizzando il calcolo del determinante.

A = [\begin{matrix}1 & k + 2 & 0 \\ k^{2} − 1 & 0 & 4 − k \\ 1 & 2k − 3 & 0 \end{matrix}] k ∈ R

Esercizio 6.4. Calcolare l’inversa delle seguenti matrici (invertibili) utilizzando il metodo della riduzione a gradini.

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix}]

Esercizio 6.5. Dopo avere stabilito se le seguenti matrici sono invertibili calcolarne l’inversa:

A_{1} = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}]  A_{2} = [\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]  A_{3} = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}]

A_{4} = [\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}]  A_{5} = [\begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}]  A_{6} = [\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix}]

Esercizio 6.6. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}]

a) Calcolare il determinante di A e stabilire per quali valori di k la matrice è invertibile.

b) Trovare la matrice inversa di A per k = 1.

Esercizio 6.7. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}k & k − 1 & k \\ 0 & 2k − 2 & 0 \\ 1 & k − 1 & 2 − k \end{matrix}] (k reale).

a) Si determini per quali valori di k la matrice A è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k = −1.

b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

Esercizio 6.8. Sia A_{t} la matrice reale

A_{t} = [\begin{matrix}0 & t & 0 \\ 1 & 1 & t \\ 2 & t & 1 \end{matrix}] (t reale).

Stabilire per quali valori di t la matrice A_{t} è invertibile.

Esercizio 6.9. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 3k & 8 + 2k & k − 1 \\ 0 & 8k + 8 & 0 \end{matrix}] (t reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile?

Esercizio 6.10. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}2 & 0 & 5 \\ −4k & 4k − 1 & k − 2 \\ 0 & 1 − 4k & 0 \end{matrix}] (t reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile?

Esercizio 6.11. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & k & 0 \\ 0 & 1 & k − 4 \\ 2 & k & 0 \end{matrix}] (k reale).

a) Stabilire per quali valori di k la matrice A è invertibile.

b) Per i valori di k trovati al punto precedente determinare l’inversa di A.

Esercizio 6.12. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}2 & 2 & k \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3k \end{matrix}] (k reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Si determini il valore di k tale per cui la matrice A abbia determinante uguale a uno. Per tale valore di k, si calcoli la matrice inversa di A.

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1. Suggerimenti

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Una matrice (quadrata) A è invertibile se esiste una matrice, indicata con A^{−1}, tale che AA^{−1} = A^{−1}A = I.

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice quadrata A sia invertibile è che sia det(A) ≠ 0. ——————————————————————————————————————————————-

Per calcolare l’inversa di una matrice utilizzeremo due metodi:

• Si affianca alla matrice A la matrice identica e si riduce A a gradini in forma normale (cioè con tutti 1 sulla diagonale e 0 altrove). La matrice in cui è stata trasformata la matrice identica è l’inversa A^{−1}.

• Si utilizzano le formule:

A^{−1} = \frac{1}{det(A)} [a′_{ij}]^{T}

dove

a′_{ij} = complemento algebrico di a_{ij}

= (−1)^{i+j} · det(matrice ottenuta da A eliminando la riga i e la colonna j)

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Rango.

Per calcolare il rango di una matrice possiamo utilizzare i sottodeterminanti oppure i pivot. Infatti valgono le seguenti proprietà:

(1) Il rango di una matrice A corrisponde al massimo ordine di una sua sottomatrice (quadrata) con determinante non nullo.

(2) Il rango di una matrice A corrisponde al numero dei suoi pivot, una volta che A è stata ridotta a gradini.

(3) Il rango di una matrice A è uguale al numero di righe linearmente indipendenti.

(4) Il rango di una matrice A è uguale al numero di colonne linearmente indipendenti.

Talvolta per calcolare il rango di una matrice può essere utile utilizzare un metodo misto di riduzione e di calcolo dei determinanti. Infatti, sia A una matrice e A′ la matrice ottenuta da A con qualche passo di riduzione a gradini. Allora rg(A) = rg(A′). In particolare se A è quadrata det(A) = 0 se e solo se det(A′) = 0. ——————————————————————————————————————————————-

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una matrice quadrata A sia invertibile è che sia det(A) ≠ 0, ovvero che rg(A) sia massimo. ——————————————————————————————————————————————-

2. Soluzioni

Esercizio 6.1. Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A = [\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & −2 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}−11 & 3 \\ 2 & 0 \end{matrix}]

C = [\begin{matrix}2 & 3 & −2 \\ 1 & −2 & 0 \\ 0 & −1 & 2 \end{matrix}]  D = [\begin{matrix}2 & −2 & −2 \\ 1 & 1 & 0 \\ −3 & 4 & 0 \end{matrix}]  F = [\begin{matrix}7 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ −3 & 4 & −3 \end{matrix}]

Soluzione:

det(A) = 2 · (−2) − 1 · 3 = −4 − 3 = −7
det(B) = 0 − 2 · 3 = −6

Per calcolare il determinante di C sviluppiamo secondo la terza colonna:

det(C) = − 2 · (−1)^{1+3} · det [\begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & −1 \end{matrix}] + 2 · (−1)^{3+3} · det [\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & −2 \end{matrix}]
= − 2 · (−1) + 2 · (−7) = 2 − 14 = −12

Analogamente per calcolare il determinante di D sviluppiamo secondo la terza colonna:

det(D) = − 2 · (−1)^{1+3} · det [\begin{matrix}1 & 1 \\ −3 & 4 \end{matrix}] = −2 · (7) = −14

Per calcolare il determinante di F sviluppiamo rispetto alla prima riga. Notiamo che il determinante di F risulta il prodotto degli elementi della diagonale:

det(F) =7 · (−1)^{1+1} · det [\begin{matrix}1 & 0 \\ 4 & −3 \end{matrix}] = 7 · 1 · (−3) = −21
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Esercizio 6.2. Calcolare il determinante delle seguenti matrici:

A_{1} = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}]  A_{2} = [\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]  A_{3} = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}]

A_{4} = [\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}]  A_{5} = [\begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}]  A_{6} = [\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix}]

Soluzione: Cominciamo dalle matrici 2 × 2:

det(A_{1}) = 1 · (−1) − 2 · 2 = −5
det(A_{2}) = 3 · 1 = 3
det(A_{3}) = 1 · 3 − 2 · 1 = 1

Consideriamo ora le matrici 3 × 3.

Per la matrice A_{4} sviluppiamo il determinante rispetto alla prima colonna:

det(A_{4}) = 1 · det [\begin{matrix}2 & −1 \\ 0 & 5 \end{matrix}] − 0 · det [\begin{matrix}−4 & 2 \\ 0 & 5 \end{matrix}] + 0 · det [\begin{matrix}−4 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}] = 1 · (10) = 10

Per la matrice A_{5} possiamo sviluppare il determinante indifferentemente rispetto alla prima colonna o alla prima riga:

det(A_{5}) = −2 · det [\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}] = −6

Per la matrice A_{6} ci conviene sviluppare il determinante rispetto alla seconda colonna:

det(A_{6}) = −(−1) · det [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 7 \end{matrix}] + 1 · det [\begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 7 \end{matrix}] = 1 · (7 − 4) + 1 · (7 − 6) = 3 + 1 = 4
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Esercizio 6.3. Calcolare il rango della seguente matrice A, utilizzando il calcolo del determinante.

A = [\begin{matrix}1 & k + 2 & 0 \\ k^{2} − 1 & 0 & 4 − k \\ 1 & 2k − 3 & 0 \end{matrix}] k ∈ R

Soluzione: Per calcolare il rango di A utilizziamo la seguente proprietà. ——————————————————————————————————————————————-

Il rango di una matrice A corrisponde al massimo ordine di una sottomatrice quadrata di A con deteminante non nullo. ——————————————————————————————————————————————-

Cominciamo quindi a calcolare il determinante di A per stabilire quando rg(A) = 3.

Sviluppiamo rispetto alla terza colonna:

det(A) = −(4 − k) · [2k − 3 − (k + 2)] = (k − 4)(k − 5)

Quindi det(A) = 0 se k = 4 o k = 5.

Di conseguenza:

• Se k ≠ 4, 5, la matrice ha determinante non nullo, quindi rg(A) = 3.

• Se k = 4 la matrice A diventa:

A = [\begin{matrix}1 & 6 & 0 \\ 15 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 \end{matrix}]

Sappiamo già che rg(A) ≤ 2. Per stabilire se ha rango 2 basta trovare una sottomatrice 2 × 2 con determinante non nullo. In effetti in A troviamo per esempio la sottomatrice:

B = [\begin{matrix}1 & 6 \\ 15 & 0 \end{matrix}] det(B) = −15 · 6 ≠ 0

quindi rg(A) = 2.

• Se k = 5 la matrice A diventa:

A = [\begin{matrix}1 & 7 & 0 \\ 24 & 0 & 1 \\ 1 & 7 & 0 \end{matrix}]

Sappiamo già che rg(A) ≤ 2. Per stabilire se ha rango 2 basta trovare una sottomatrice 2 × 2 con determinante non nullo. In effetti in A troviamo per esempio la sottomatrice:

C = [\begin{matrix}7 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] det(C) = 7 ≠ 0

quindi rg(A) = 2.

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Esercizio 6.4. Calcolare l’inversa delle matrici (invertibili)

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix}]

utilizzando il metodo della riduzione a gradini.

Soluzione:

• Consideriamo la matrice A e procediamo affiancando ad A la matrice identica 2 × 2 prima di calcolare rref(A):

[\begin{matrix}1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 2 & −1 & | & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ II − 2I [\begin{matrix}1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 0 & −5 & | & −2 & 1 \end{matrix}]

⇒ −1/5II [\begin{matrix}1 & 2 & | & 1 & 0 \\ 0 & 1 & | & \frac{2}{5} & −\frac{1}{5} \end{matrix}] ⇒ I − 2II [\begin{matrix}1 & 0 & | & \frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\ 0 & 1 & | & \frac{2}{5} & −\frac{1}{5} \end{matrix}]

Di conseguenza

A^{−1} = [\frac{2}{5} −\frac{1}{5}^{\frac{1}{5} \frac{2}{5}}] = \frac{1}{5} [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}]

• Consideriamo la matrice B e procediamo affiancando a B la matrice identica 3 × 3 prima di calcolare rref(B):

[\begin{matrix}1 & −1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 7 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}II − I \\ III − 2I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & −1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & −1 & | & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & | & −2 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒

\begin{matrix}1/2II \\ III − II \end{matrix} [\begin{matrix}1 & −1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & −\frac{1}{2} & | & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & −1 & −1 & 1 \end{matrix}] ⇒ 1/2III [\begin{matrix}1 & −1 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & −\frac{1}{2} & | & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & −\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}]

⇒ \begin{matrix}I − 3III \\ II + 1/2III \end{matrix} [\begin{matrix}1 & −1 & 0 & | & \frac{5}{2} & \frac{3}{2} & −\frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & −\frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & −\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ] ⇒ I + II [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & \frac{7}{4} & \frac{7}{4} & −\frac{5}{4} \\ 0 & 1 & 0 & | & −\frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & −\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ]

Di conseguenza

B^{−1} = [\begin{matrix}\frac{7}{4} & \frac{7}{4} & −\frac{5}{4} \\ −\frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ −\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ] = \frac{1}{4} [\begin{matrix}7 & 7 & −5 \\ −3 & 1 & 1 \\ −2 & −2 & 2 \end{matrix}]

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Notiamo che se M ∈ M_{n×n} è una matrice tale che rref(M) = I_{n}, allora rg(M) = n, quindi: una matrice n × n è invertibile se e solo se ha rango n.

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6 6. DETERMINANTE E INVERSA DI UNA MATRICE

Esercizio 6.5. Dopo avere stabilito se le seguenti matrici sono invertibili calcolarne l’inversa:

A_{1} = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}]  A_{2} = [\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]  A_{3} = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}]
A_{4} = [\begin{matrix}1 & −4 & 2 \\ 0 & 2 & −1 \\ 0 & 0 & 5 \end{matrix}]  A_{5} = [\begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}]  A_{6} = [\begin{matrix}1 & −1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 7 \end{matrix}]

Soluzione:

• Poichè det(A_{1}) = −1 − 4 = −5 la matrice A_{1} è invertibile. Inoltre

\begin{cases}a′_{11} = (−1)^{1+1}(−1) = −1 \\ a′_{12} = (−1)^{1+2}2 = −2 \\ a′_{21} = (−1)^{2+1}2 = −2 \\ a′_{22} = (−1)^{2+2}1 = 1 \end{cases} ⇒ A_{1}^{−1} = [\frac{2}{5} −\frac{1}{5}^{\frac{1}{5} \frac{2}{5}} ]

• Consideriamo A_{2}. Poichè det(A_{2}) = 3 · 1 = 3 ≠ 0, la matrice A_{2} è invertibile. Inoltre

\begin{cases}a′_{11} = (−1)^{1+1}1 = 1 \\ a′_{12} = (−1)^{1+2}0 = 0 \\ a′_{21} = (−1)^{2+1}0 = 0 \\ a′_{22} = (−1)^{2+2}3 = 3 \end{cases} ⇒ A_{2}^{−1} = [\begin{matrix}\frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

• Consideriamo A_{3}. Poichè det(A_{3}) = 3 − 2 = 1 ≠ 0, la matrice A_{3} è invertibile. Inoltre

\begin{cases}a′_{11} = (−1)^{1+1}3 = 3 \\ a′_{12} = (−1)^{1+2}2 = −2 \\ a′_{21} = (−1)^{2+1}1 = −1 \\ a′_{22} = (−1)^{2+2}1 = 1 \end{cases} ⇒ A_{3}^{−1} = [\begin{matrix}3 & −1 \\ −2 & 1 \end{matrix}]

• Poichè det(A_{4}) = 10 ≠ 0, la matrice A_{4} è invertibile. Inoltre

\begin{cases}a′_{11} = (−1)^{1+1} det [\begin{matrix}2 & −1 \\ 0 & 5 \end{matrix}] = 10 \\ a′_{12} = (−1)^{1+2} = det [\begin{matrix}0 & −1 \\ 0 & 5 \end{matrix}] = 0 \\ a′_{13} = (−1)^{1+3}1 = det [\begin{matrix}0 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}] = 0 \\ a′_{21} = (−1)^{2+1} det [\begin{matrix}−4 & 2 \\ 0 & 5 \end{matrix}] = 20 \\ a′_{22} = (−1)^{2+2} = det [\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 5 \end{matrix}] = 5 \\ a′_{23} = (−1)^{2+3} = det [\begin{matrix}1 & −4 \\ 0 & 0 \end{matrix}] = 0 \\ a′_{31} = (−1)^{3+1} det [\begin{matrix}−4 & 2 \\ 2 & −1 \end{matrix}] = 0 \\ a′_{32} = (−1)^{3+2} = det [\begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & −1 \end{matrix}] = 1 \\ a′_{33} = (−1)^{3+3} = det [\begin{matrix}1 & −4 \\ 0 & 2 \end{matrix}] = 2 \end{cases} ⇒ A_{4}^{−1} = [\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{10} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{matrix} ]

• Poichè det(A_{5}) = −6 ≠ 0, la matrice A_{5} è invertibile. Inoltre

a′_{11} = 3  a′_{12} = 0  a′_{13} = 0
a′_{21} = 0  a′_{22} = −6  a′_{23} = 0
a′_{31} = 0  a′_{32} = 0  a′_{33} = −2

Quindi

A_{5}^{−1} = [\begin{matrix}−\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{matrix}]

• Poichè det(A_{6}) = 4 ≠ 0, la matrice A_{6} è invertibile. Inoltre

a′_{11} = 7  a′_{12} = −3  a′_{13} = −2
a′_{21} = 7  a′_{22} = 1  a′_{23} = −2
a′_{31} = −5  a′_{32} = 1  a′_{33} = 2

Quindi

A_{6}^{−1} = [\begin{matrix}\frac{7}{4} & \frac{7}{4} & −\frac{5}{4} \\ −\frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ −\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ]

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Esercizio 6.6. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ k & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix}]

a) Calcolare il determinante di A e stabilire per quali valori di k la matrice è invertibile.

b) Trovare la matrice inversa di A per k = 1.

Soluzione:

a)

det(A) = (1 − 4) + 2k = 2k − 3

La matrice A è invertibile se il suo determinante è diverso da zero, ovvero se k ≠ \frac{3}{2}.

b) Calcoliamo l’inversa di A dopo avere posto k = 1, nel quale caso det(A) = 2 − 3 = −1.

a′_{11} = −3  a′_{12} = −1  a′_{13} = 2
a′_{21} = 2  a′_{22} = 1  a′_{23} = −2
a′_{31} = −1  a′_{32} = −1  a′_{33} = 1

Quindi

A^{−1} = [\begin{matrix}3 & −2 & 1 \\ 1 & −1 & 1 \\ −2 & 2 & −1 \end{matrix}]

In alternativa per calcolare l’inversa di A potevamo calcolare rref(A) dopo avere affiancato a A, con k = 1, la matrice identica:

[\begin{matrix}1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ II − I [\begin{matrix}1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

⇒III − 2II [\begin{matrix}1 & 0 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & | & 2 & −2 & 1 \end{matrix}] ⇒

\begin{matrix}I + III \\ II + III \\ −III \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & 3 & −2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & −2 & 2 & −1 \end{matrix}] ⇒ A^{−1} = [\begin{matrix}3 & −2 & 1 \\ 1 & −1 & 1 \\ −2 & 2 & −1 \end{matrix}]

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Esercizio 6.7. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}k & k − 1 & k \\ 0 & 2k − 2 & 0 \\ 1 & k − 1 & 2 − k \end{matrix}] (k reale).

a) Si determini per quali valori di k la matrice A è invertibile. Si calcoli la matrice inversa di A per k = −1.

b) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

Soluzione:

a) Una matrice quadrata è invertibile se ha determinante diverso da zero, ovvero se ha rango massimo. Calcoliamo quindi il determinante di A sviluppando rispetto alla seconda riga:

det(A) = (2k − 2) · [k(2 − k) − k] = (2k − 2)(−k^{2} + k)

Quindi det(A) = 0 se

2k − 2 = 0 ⇒ k = 1
− k^{2} + k = 0 ⇒ k = 0 o k = 1

Infine A è invertibile se k ≠ 0 e k ≠ 1.

Calcoliamo l’inversa di A quando k = −1 con il metodo della riduzione:

[\begin{matrix}−1 & −2 & −1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & −4 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & −2 & 3 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}−I \\ −1/4II \\ III + I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 2 & 1 & | & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & −\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & −4 & 2 & | & 1 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒

III + 4II [\begin{matrix}1 & 2 & 1 & | & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & −\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & 1 & −1 & 1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}I − 2II \\ 1/2III \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 0 & 1 & | & −1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & −\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}]

⇒ I − III [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & −\frac{3}{2} & 1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 & −\frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ]  ⇒  A^{−1} = [\begin{matrix}−\frac{3}{2} & 1 & −\frac{1}{2} \\ 0 & −\frac{1}{4} & 0 \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix} ]

b) Abbiamo visto che se k ≠ 0, 1 la matrice ha determinante non nullo, quindi in questi casi rg(A) =

3. Inoltre:

– Se k = 0, A diventa

[\begin{matrix}0 & −1 & 0 \\ 0 & −2 & 0 \\ 1 & −1 & 2 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}III \\ 1/2II \\ I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix}] ⇒ III − II [\begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ⇒ rg(A) = 2

– Se k = 1, A diventa

[\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ III − II [\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ⇒ rg(A) = 1

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Esercizio 6.8. Sia A_{t} la matrice reale

A_{t} = [\begin{matrix}0 & t & 0 \\ 1 & 1 & t \\ 2 & t & 1 \end{matrix}] (t reale).

Stabilire per quali valori di t la matrice A_{t} é invertibile.

Soluzione: A_{t} è invertibile se il suo determinante è diverso da zero, ovvero se il suo rango è 3. Riduciamo quindi A a gradini per stabilire se è invertibile.

\begin{matrix}II \\ I \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 1 & t \\ 0 & t & 0 \\ 2 & t & 1 \end{matrix}] ⇒ III − 2I [\begin{matrix}1 & 1 & t \\ 0 & t & 0 \\ 0 & t − 2 & 1 − 2t \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}III \\ II \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 1 & t \\ 0 & t − 2 & 1 − 2t \\ 0 & t & 0 \end{matrix}]

Scambiando ora la seconda e terza colonna otteniamo:

[\begin{matrix}1 & t & 1 \\ 0 & 1 − 2t & t − 2 \\ 0 & 0 & t \end{matrix}]

Quindi A_{t} ha rango 3, cioè A_{t} è invertibile, se t ≠ 0, \frac{1}{2}. In alternativa potevamo calcolare direttamente il determinante:

det(A_{t}) = −t(1 − 2t)

e A_{t} è invertibile se det(A_{t}) ≠ 0, ovvero se t ≠ 0, \frac{1}{2}.

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Esercizio 6.9. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 3k & 8 + 2k & k − 1 \\ 0 & 8k + 8 & 0 \end{matrix}] (t reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile?

Soluzione:

a) Riduciamo A a gradini:

II − 3kI [\begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 0 & 8 + 8k & k − 1 \\ 0 & 8k + 8 & 0 \end{matrix}] ⇒ III − II [\begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ 0 & 8 + 8k & k − 1 \\ 0 & 0 & −k + 1 \end{matrix}]

Quindi:

– Se k ≠ ±1, la matrice ha 3 pivot, quindi rg(A) = 3.

– Se k = 1 o k = −1, la matrice ha 2 pivot, quindi rg(A) = 2.

b) Una matrice quadrata è invertibile se ha rango massimo. In questo caso A è invertibile quando

ha rango 3 cioè se k ≠ ±1.

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Esercizio 6.10. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}2 & 0 & 5 \\ −4k & 4k − 1 & k − 2 \\ 0 & 1 − 4k & 0 \end{matrix}] (k reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Esistono valori di k per i quali la matrice è invertibile?

Soluzione:

a) Riduciamo A a gradini:

II + 2kI [\begin{matrix}2 & 0 & 5 \\ 0 & 4k − 1 & 11k − 2 \\ 0 & 1 − 4k & 0 \end{matrix}] ⇒ III + II [\begin{matrix}2 & 0 & 5 \\ 0 & 4k − 1 & 11k − 2 \\ 0 & 0 & 11k − 2 \end{matrix}]

Quindi:

– Se k ≠ \frac{1}{4}, \frac{2}{11}, la matrice ha 3 pivot, quindi rg(A) = 3.

– Se k = \frac{1}{4} o k = \frac{2}{11}, la matrice ha 2 pivot, quindi rg(A) = 2.

b) Una matrice quadrata è invertibile se ha rango massimo. In questo caso A è invertibile quando

ha rango 3 cioè se k ≠ \frac{1}{4}, \frac{2}{11}.

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Esercizio 6.11. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}1 & k & 0 \\ 0 & 1 & k − 4 \\ 2 & k & 0 \end{matrix}] (k reale).

a) Stabilire per quali valori di k la matrice A è invertibile.

b) Per i valori di k trovati al punto precedente determinare l’inversa di A.

Soluzione:

a) Calcoliamo il rango di A riducendola a gradini, ricordando che una matrice è invertibile se ha rango massimo (in questo caso 3):

III − 2I [\begin{matrix}1 & k & 0 \\ 0 & 1 & k − 4 \\ 0 & −k & 0 \end{matrix}] ⇒ III + kII [\begin{matrix}1 & k & 0 \\ 0 & 1 & k − 4 \\ 0 & 0 & k(k − 4) \end{matrix}]

A ha tre pivot, e quindi rango 3, se k(k − 4) ≠ 0. Quindi A è invertibile se k ≠ 0, 4.

b) Per determinare l’inversa di A calcoliamo rref(A) dopo avere affiancato a A la matrice identica, tenendo conto delle condizioni k ≠ 0, 4:

[\begin{matrix}1 & k & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & k − 4 & | & 0 & 1 & 0 \\ 2 & k & 0 & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ III − 2I [\begin{matrix}1 & k & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & k − 4 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & −k & 0 & | & −2 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒

\begin{matrix}I + III \\ III + kII \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & −1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & k − 4 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & k(k − 4) & | & −2 & k & 1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}II − \frac{1}{k} III \\ \frac{1}{k(k−4)}III \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & −1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{2}{k} & 0 & −\frac{1}{k} \\ 0 & 0 & 1 & | & −\frac{2}{k(k−4)} & \frac{1}{k−4} & \frac{1}{k(k−4)} \end{matrix} ]

Quindi

A^{−1} = [\begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ \frac{2}{k} & 0 & −\frac{1}{k} \\ −\frac{2}{k(k−4)} & \frac{1}{k−4} & \frac{1}{k(k−4)} \end{matrix} ] ∀k ≠ 0, 4

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Esercizio 6.12. Sia A la matrice reale

A = [\begin{matrix}2 & 2 & k \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3k \end{matrix}] (k reale).

a) Calcolare il rango di A al variare del parametro k.

b) Si determini il valore di k tale per cui la matrice A abbia determinante uguale a uno. Per tale valore di k, si calcoli la matrice inversa di A.

Soluzione:

a) Ricordiamo che una matrice ha rango massimo, in questo caso 3, se ha determinante diverso da zero.

det(A) = 2 · 6k − 1 · 6k = 6k

Quindi se k ≠ 0 la matrice ha rango 3. Per k = 0 la matrice A diventa:

A = [\begin{matrix}2 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ⇒ 2II − I [\begin{matrix}2 & 2 & 0 \\ 0 & −2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

e per k = 0 la matrice ha rango 2.

b) Abbiamo visto che det(A) = 6k, quindi A ha determinante 1 se k = \frac{1}{6}. Calcoliamo l’inversa con il metodo della riduzione:

[\begin{matrix}2 & 2 & \frac{1}{6} & | & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & | & 0 & 0 & 1 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}1/2I \\ 2III \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 1 & \frac{1}{12} & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 2 \end{matrix}] ⇒

II − I [\begin{matrix}1 & 1 & \frac{1}{12} & | & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & −\frac{1}{12} & | & −\frac{1}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 2 \end{matrix}] ⇒ \begin{matrix}I − 1/12III \\ II + 1/12III \end{matrix} [\begin{matrix}1 & 1 & 0 & | & \frac{1}{2} & 0 & −\frac{1}{6} \\ 0 & 1 & 0 & | & −\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 2 \end{matrix}]

⇒ I − II [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & | & 1 & −1 & −\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & 0 & | & −\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 2 \end{matrix}]  ⇒  A^{−1} = [\begin{matrix}1 & −1 & −\frac{1}{3} \\ −\frac{1}{2} & 1 & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}]
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