CAPITOLO 3 Gruppi, spazi e sottospazi vettoriali

Esercizio 3.1. Dimostrare che l’insieme

G = \{[\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix}] | a, b ∈ R, a, b ≠ 0\}

forma un gruppo rispetto al prodotto tra matrici.

Esercizio 3.2. Sia R[x] l’insieme dei polinomi a coefficienti in R.

• Verificare che R[x] è un gruppo rispetto alla somma di polinomi.

• Verificare che R[x] non è un gruppo rispetto al prodotto di polinomi. Esercizio 3.3. L’insieme

S = {v = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ R^{3} | x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0}

è un sottospazio di R^{3}? Perchè?

Esercizio 3.4. Ripetere lesercizio precedente con l’insieme

S = {v = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ R^{3} | x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1}

Esercizio 3.5. Verificare che l’insieme delle matrici 2 × 2 a coefficienti in R è uno spazio vettoriale. Esercizio 3.6. Verificare che l’insieme R_{n}[x] è un sottospazio dello spazio vettoriale R[x]. Esercizio 3.7. Sia S l’insieme delle matrici 3 × 3 triangolari superiori:

S = \{[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix}] | a_{ij} ∈ R, i, j = 1, 2, 3\}

Verificare che S è un sottospazio dello spazio vettoriale delle matrici 3 × 3.

Esercizio 3.8. Sia G l’insieme di polinomi

G = {ax^{2} + a | a ∈ Z intero relativo }

a) Mostrare che G è un gruppo rispetto alla somma di polinomi.

b) Dire se G è un sottospazio vettoriale dello spazio R[x], motivando la risposta. Esercizio 3.9. Si consideri il seguente insieme

I = \{[\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}] | a, b, c ∈ R\}

a) Si verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I.

b) L’insieme I forma un gruppo rispetto alla somma di matrici?

c) Verificare che I non forma un gruppo rispetto al prodotto tra matrici.

d) L’insieme

J = \{[\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}] | a, b, c ∈ N\}

forma un gruppo rispetto alla somma di matrici?

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1. Suggerimenti

• Gruppo. Un insieme G forma un gruppo rispetto a una sua operazione ∘ se (1) L’operazione gode della proprietà associativa,

(2) G è chiuso rispetto a ∘, ovvero

x ∘ y ∈ G ∀x, y ∈ G,

(3) Esiste l’elemento neutro e, tale che:

x ∘ e = e ∘ x = x ∀x ∈ G,

(4) Esiste l’inverso (o opposto) di ogni elemento:

∀x ∈ G, ∃ x^{−1} ∈ G t.c. x ∘ x^{−1} = e.

In notazione additiva:

∀x ∈ G, ∃ − x ∈ G t.c. x ∘ (−x) = e.

• Spazio vettoriale. Uno spazio vettoriale V è un insieme dotato di due operazioni: la somma interna e il prodotto per scalari, e che gode delle seguenti proprietà:

(1) V è gruppo commutativo rispetto alla somma, quindi – V é chiuso rispetto alla somma.

– L’elemento neutro 0 appartiene a V.

– Esiste l’opposto −v di ogni elemento v ∈ V.

– La somma é commutativa.

(2) Il prodotto per scalari gode delle seguenti proprietà: – (k_{1} + k_{2})u = k_{1}u + k_{2}u qualsiasi k_{i} ∈ R e qualsiasi u ∈ V,

– k(u + v) = ku + kv qualsiasi k ∈ R e qualsiasi u, v ∈ V,

– (k_{1}k_{2})v = k_{1}(k_{2}v) qualsiasi k_{i} ∈ R e qualsiasi u ∈ V

– 1u = u qualsiasi u ∈ V.

• Sottospazio vettoriale. Un sottinsieme S di uno spazio vettoriale V è un sottospazio vettoriale se in S valgono le seguenti proprietá

(1) Se u, v ∈ S, allora u + v ∈ S.

(2) Se u ∈ S e λ ∈ R, allora λu ∈ S. Notiamo che S é un spazio vettoriale e le proprietá precedenti, unite a quelle ereditate da V, implicano tutte le proprietá di spazio vettoriale. In particolare S contiene lo 0 e l’opposto di ogni suo elemento.

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2. Soluzioni

Esercizio 3.1. Dimostrare che l’insieme

G = \{[\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix}] | a, b ∈ R, a, b ≠ 0\}

forma un gruppo rispetto al prodotto tra matrici.

Soluzione:

Consideriamo il nostro insieme G e verifichiamo che gode delle proprietá di gruppo:

(1) Il prodotto tra elementi di G gode della proprietà associativa perchè in generale il prodotto tra matrici è associativo.

(2) Per dimostrare la chiusura consideriamo due generici elementi A_{1} e A_{2} di G e verifichiamo che il loro prodotto è ancora un elemento di G:

[\begin{matrix}a_{1} & 0 \\ 0 & b_{1} \end{matrix}] · [\begin{matrix}a_{2} & 0 \\ 0 & b_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix}a_{1}a_{2} & 0 \\ 0 & b_{1}b_{2} \end{matrix}]

Notiamo che, essendo a_{i} ≠ 0 e b_{i} ≠ 0, anche a_{1}a_{2} ≠ 0 e b_{1}b_{2} ≠ 0. Di conseguenza A_{1}A_{2} ∈ G.

(3) L’elemento

I = [\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

che è in generale elemento neutro per il prodotto tra matrici, appartiene a G.

(4) Verifichiamo che qualsiasi sia l’elemento A di G esiste il suo inverso in G. Come suggerisce il punto 2, verifichiamo che

[\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix}] · [\begin{matrix}\frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{1}{b} \end{matrix}] = [\begin{matrix}\frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{1}{b} \end{matrix}] · [\begin{matrix}a & 0 \\ 0 & b \end{matrix}] = I

Inoltre, poichè a, b ≠ 0 ha senso definire \frac{1}{a}, \frac{1}{b}. Infine l’elemento

[\begin{matrix}\frac{1}{a} & 0 \\ 0 & \frac{1}{b} \end{matrix}]

appartiene a G.

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Esercizio 3.2. Sia R[x] l’insieme dei polinomi (in una variabile) a coefficienti in R. • Verificare che R[x] è un gruppo rispetto alla somma di polinomi.

• Verificare che R[x] non è un gruppo rispetto al prodotto di polinomi.

Soluzione:

• Consideriamo l’insieme R[x] con la somma.

(1) La somma di polinomi gode della proprietà associativa.

(2) La somma di due polinomi è ancora un polinomio.

(3) Esiste l’elemento 0 ∈ R[x], cioè il polinomio con tutti coefficienti nulli, tale che:

p(x) + 0 = 0 + p(x) = p(x) ∀ p(x) ∈ R[x]

(4) Qualsiasi sia

p(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x^{n} ∈ R[x]

esiste l’elemento

q(x) = −a_{0} + (−a_{1})x + ⋯ + (−a_{n})x^{n} ∈ R[x]

tale che p(x) + q(x) = 0

• Consideriamo l’insieme R[x] con il prodotto. E’ sufficiente dimostrare che non verifica una delle proprietà dei gruppi. Notiamo che l’elemento neutro rispetto al prodotto è p(x) = 1, e che , per esempio, l’elemento f(x) = x non ammette inverso. Infatti, non esiste p(x) ∈ R[x] tale che

x · p(x) = 1
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Esercizio 3.3. L’insieme

S = {v = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ R^{3} | x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0}

è un sottospazio di R^{3}? Perchè?

Soluzione: Verifichiamo le due proprietà dei sottospazi per il nostro insieme S

(1) Presi u = (x_{1}, x_{2}, x_{3}), v = (y_{1}, y_{2}, y_{3}) ∈ S abbiamo che

u + v = (x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}, x_{3} + y_{3})

e

(x_{1} + y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) + (x_{3} + y_{3}) = (x_{1} + x_{2} + x_{3}) + (y_{1} + y_{2} + y_{3}) = 0

Quindi u + v ∈ S.

(2) Qualsiasi sia u = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ S e λ ∈ R abbiamo che

λu = (λx_{1}, λx_{2}, λx_{3})

e

λx_{1} + λx_{2} + λx_{3} = λ(x_{1} + x_{2} + x_{3}) = 0

Quindi λu ∈ S. Abbiamo cosí dimostrato che S è sottospazio di R^{3}.

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Esercizio 3.4. Ripetere lesercizio precedente con l’insieme

S = {v = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ R^{3} | x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1}

Soluzione: In questo caso S non è sottospazio di R^{3} infatti non gode di nessuna delle due proprietà necessarie. Per esempio non è chiuso rispetto alla somma:

(1, 0, 0), (0, 1, 0) ∈ S, ma (1, 0, 0) + (0, 1, 0) ∉ S

Notiamo che per dimostrare che una proprietà non è vera basta fornire un controesempio.

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Esercizio 3.5. Verificare che l’insieme delle matrici 2 × 2 a coefficienti in R è uno spazio vettoriale.

Soluzione: Verifichiamo le operazioni di spazio vettoriale per l’insieme V:

(1) Verifichiamo che M_{2×2} è un gruppo commutativo rispetto alla somma: • La somma di matrici gode della proprietà associativa.

• La somma di due matrici 2 × 2 è ancora una matrice 2 × 2.

• L’elemento

O = [\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

è tale che M + O = O + M = M per ogni matrice M 2 × 2.

• Qualsiasi sia la matrice

A = [\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}]

esiste la matrice

B = [\begin{matrix}−a_{11} & −a_{12} \\ −a_{21} & −a_{22} \end{matrix}]

tale che A + B = B + A = O.

• La somma di matrici è commutativa:

A + B = [\begin{matrix}a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{2} \end{matrix}] = B + A

(2) Il prodotto per elementi di R è tale che • (k_{1} + k_{2})M = k_{1}M + k_{2}M qualsiasi k_{i} ∈ R e qualsiasi sia la matrice M,

• k(M_{1} + M_{2}) = kM_{1} + kM_{2} qualsiasi k ∈ R e qualsiasi siano le matrici M_{i},

• (k_{1}k_{2})M = k_{1}(k_{2}M) qualsiasi k_{i} ∈ R e qualsiasi sia la matrice M,

• 1M = M qualsiasi sia la matrice M. Notiamo che la verifica formale di tutte le proprietà è molto semplice, ma lunga. Notiamo anche come

le domande Verificare che l’insieme S è uno spazio vettoriale e Verificare che l’insieme S è un sottospazio vettoriale dello spazio V appaiono simili, ma implicano una quantità di controlli notevolmente differenti. Nel secondo caso possiamo infatti sfruttare tutte le proprietà di V che continuano ovviamente a valere in S.

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Esercizio 3.6. Verificare che l’insieme R_{n}[x] è un sottospazio dello spazio vettoriale R[x].

Soluzione:

Verifichiamo le due proprietà richieste ai sotospazi:

(1) Siano f(x), g(x) due elementi di R_{n}[x]:

f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ⋯ + a_{n}x^{n}, a_{i} ∈ R
g(x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} + ⋯ + b_{n}x^{n}, b_{i} ∈ R

Di conseguenza

f(x) + g(x) = (a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1})x + ⋯ + (a_{n} + b_{n})x^{n}, a_{i}, b_{i} ∈ R

e f(x) + g(x) ∈ R_{n}[x].

(2) Sia f(x) ∈ R_{n}[x] e λ ∈ R, allora

λf(x) = λa_{0} + λa_{1}x + λa_{2}x^{2} + ⋯ + λa_{n}x^{n}, λa_{i} ∈ R

Quindi λf(x) ∈ R_{n}[x].

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Esercizio 3.7. Sia S l’insieme delle matrici 3 × 3 triangolari superiori:

S = \{[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix}] | a_{ij} ∈ R, i, j = 1, 2, 3\}

Verificare che S è un sottospazio dello spazio vettoriale delle matrici 3 × 3.

Soluzione:

(1) Siano A, B ∈ S, allora

A + B = [\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix}] + [\begin{matrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ 0 & b_{22} & b_{23} \\ 0 & 0 & b_{33} \end{matrix}]

= [\begin{matrix}a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ 0 & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} + b_{33} \end{matrix}] ∈ S

(2) Qualsiasi sia A ∈ S e k ∈ R:

kA = [\begin{matrix}ka_{11} & ka_{12} & ka_{13} \\ 0 & ka_{22} & ka_{23} \\ 0 & 0 & ka_{33} \end{matrix}] ∈ S

Quindi S è sottospazio di M_{3×3}.

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Esercizio 3.8. Sia G l’insieme di polinomi

G = {ax^{2} + a | a ∈ Z intero relativo }

a) Mostrare che G è un gruppo rispetto alla somma di polinomi.

b) Dire se G è un sottospazio vettoriale dello spazio R[x], motivando la risposta.

Soluzione:

a) Un insieme G é un gruppo rispetto a una operazione + se:

(1) L’operazione è interna, ovvero G è chiuso rispetto a +. In questo caso presi due elementi di G:

p_{1}(x) = ax^{2} + a,  p_{2}(x) = bx^{2} + b,  con a, b ∈ Z

allora anche la loro somma p_{1}(x) + p_{2}(x) appappartiene a G. Infatti

p_{1}(x) + p_{2}(x) = (a + b)x^{2} + (a + b) = cx^{2} + c

dove c = a + b ∈ Z.

(2) L’operazione gode della proprietà associativa. Infatti la somma di polinomi gode in generale della proprietà associativa, quindi anche la somma di elementi di G è associativa.

(3) Esiste l’elemento neutro 0 appartenente a G. Infatti 0 = 0x^{2} + 0 ∈ G e

0 + ax^{2} + a = ax^{2} + a + 0 = ax^{2} + a

(4) Esiste l’opposto di ogni elemento. Infatti dato ax^{2} +a ∈ G esiste l’elemento −ax^{2} +(−a) ∈ G tale che

(ax^{2} + a) + (−ax^{2} + (−a)) = (−a + (−a)x^{2}) + (ax^{2} + a) = 0

b) L’ insieme G è un sottospazio dello spazio vettoriale R[x] se:

(1) G è chiuso rispetto alla somma. Tale proprietà è già stata verificata al punto precedente.

(2) G è chiuso rispetto al prodotto per scalari. Notiamo che il campo degli scalari di R[x] è R (notiamo anche che Z non è un campo!), quindi G non è chiuso rispetto al prodotto per scalari. Infatti per esempio x^{2} + 1 ∈ G, \frac{1}{2} ∈ R, ma

\frac{1}{2} · (x^{2} + 1) = \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{2} ∉ G

Di conseguenza G non è un sottospazio vettoriale di R[x]

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Esercizio 3.9. Si consideri il seguente insieme

I = \{[\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}] | a, b, c ∈ R\}

a) Si verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I.

b) L’insieme I forma un gruppo rispetto alla somma di matrici?

c) Verificare che I non forma un gruppo rispetto al prodotto tra matrici.

d) L’insieme

J = \{[\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}] | a, b, c ∈ N\}

forma un gruppo rispetto alla somma di matrici?

Soluzione:

a) Siano

A = [\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}] B = [\begin{matrix}x & y \\ 0 & z \end{matrix}]

due generici elementi di I. Dobbiamo verificare che A + B e AB sono ancora elementi di I:

A + B = [\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}] + [\begin{matrix}x & y \\ 0 & z \end{matrix}] = [\begin{matrix}a + x & b + y \\ 0 & c + z \end{matrix}] ∈ I

AB = [\begin{matrix}ax & ay + bz \\ 0 & cz \end{matrix}] ∈ I

b) I è un gruppo rispetto alla somma, infatti verifica le quattro proprità:

(1) Proprietà associativa. La somma tra matrice gode in generale di tale proprietà, quindi in particolare ne godono gli elementi di I.

(2) Chiusura. Abbiamo appena dimostrato che I è chiuso rispetto alla somma.

(3) Elemento neutro. La matrice nulla appartiene all’insieme I.

(4) Opposto. Presa una qualsiasi matrice

A = [\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}] ∈ I

esiste la matrice

B = [\begin{matrix}−a & −b \\ 0 & −c \end{matrix}] ∈ I

tale che A + B = 0.

c) Le prima tre proprietà di gruppo rispetto al prodotto sono verificate dall’insieme I, quindi il problema deve venire dall’esistenza dell’inverso. E’ quindi sufficiente dimostrare che esiste almeno una matrice in I che non ammette inverso. In particolare la matrice nulla

O = [\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] ∈ I

e qualsiasi sia la matrice A, AO = OA = O. Di conseguenza O non può ammettere inversa.

d) Anche per l’insieme J non è verificata la proprietà di esistenza dell’opposto. Per esempio l’opposto della matrice

A = [\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] ∈ I

è la matrice

[\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

2. SOLUZIONI 7

che però non appartiene a J (in quanto −1 ∉ N).

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