CAPITOLO 1 Operazioni tra matrici e n-uple

Esercizio 1.1. Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & −1 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}3 & 0 \\ −1 & 4 \end{matrix}]

e dati λ = 5, μ = 2, si calcoli AB, BA, A + B, B − A, λA + μB.

Esercizio 1.2. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, μ ∈ R, calcolare A + B, B − A, λA + μB, AB, BA, A^{2}:

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}3 & 2 \\ −1 & 4 \end{matrix}]  λ = \frac{1}{2}, μ = 0
A = [\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 3 & −1 & −1 \\ 2 & 0 & −1 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}3 & 0 & 2 \\ −1 & 4 & 5 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix}]  λ = 2, μ = −1

Esercizio 1.3. Date le seguenti matrici:

A_{1} = [\begin{matrix}−1 & 2 & 5 & −3 \\ 3 & −1 & 0 & 2 \\ 4 & 0 & 0 & −2 \end{matrix}];  A_{2} = [\begin{matrix}0 & −2 & 5 \\ 4 & −3 & 2 \end{matrix}];  A_{3} = [\begin{matrix}5 & 0 \\ −1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 5 & −1 \end{matrix}];
A_{4} = [\begin{matrix}3 & 5 \\ −1 & 10 \\ −2 & 0 \end{matrix}];  A_{5} = [\begin{matrix}−2 & 4 & 1 \\ −4 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}];  A_{6} = [\begin{matrix}−3 & 1 & −1 \\ −8 & 5 & 3 \end{matrix}];

calcolare, quando possibile, i prodotti A_{i} · A_{j} per i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Esercizio 1.4. Date le matrici

A = [1 2 3 4] I_{4} = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

calcolare i prodotti AI_{4} e I_{4}A^{T}.

Esercizio 1.5. Date le matrici

A = [−2 \frac{1}{2} 3 1] B = [1 −3 \frac{2}{3} 1]

calcolare 3A − 2B e AB^{T}.

Esercizio 1.6. Calcolare la potenza A^{3} della matrice

[\begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

Esercizio 1.7. Data la matrice

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ −3 & 2 \end{matrix}]

calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I).

Esercizio 1.8. Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I).

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 3 & 3 \end{matrix}] A = [\begin{matrix}1 & −1 \\ −3 & 2 \end{matrix}]

2 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-UPLE

Esercizio 1.9. Date le matrici

A = [\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & 3 \end{matrix}] C = [\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}]

calcolare AB, BA, BC e CB.

Esercizio 1.10. Si consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori di M_{2×2}(R))

I = \{[\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}] | a, b, c ∈ R\}

Si verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I.

Esercizio 1.11. Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A, B non nulle tali che AB = 0. Esercizio 1.12. Sia

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

e B una matrice tale che AB = BA. Si dimostri che

B = λI_{2} + [\begin{matrix}0 & x \\ 0 & 0 \end{matrix}]

dove λ, x ∈ R.

Esercizio 1.13. Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & −2 & 3 \\ 0 & 5 & −6 \\ 2 & −1 & 4 \end{matrix}]  e  C = [\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ −1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}]

determinare la matrice B tale che A + B = C.

Esercizio 1.14. Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 3 \end{matrix}] , B = [\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] , C = [\begin{matrix}−1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}] , D = [\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix}]

stabilire se D è combinazione lineare di A, B, C.

Esercizio 1.15. Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix}] , B = [\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}] , C = [\begin{matrix}3 & 6 \\ 1 & 3 \end{matrix}]

stabilire se esistono valori di k per cui C è combinazione lineare di A, B. In caso positivo esprimere tale combinazione lineare.

Esercizio 1.16. Si considerino le seguenti n-uple di numeri reali, con n = 2, 3 o 4:

u_{1} = (1, 0)  u_{2} = (\frac{1}{2}, −2)
u_{3} = (−3, \frac{1}{4}, −5)  u_{4} = (0, −\frac{1}{2}, −2)
u_{5} = (−1, 1, 2, −2)  u_{6} = (0, 0, −\frac{1}{3}, −3)

Si calcoli quando possibile

u_{i} + u_{j}, u_{i} · u_{j}^{T} , λ · u_{i}, con λ = 0, 2, −2, i, j = 1, … 6

Esercizio 1.17. Dimostrare che un numero complesso coincidente con il proprio coniugato è necessariamente reale.

Esercizio 1.18. Si risolva il sistema Ax = b dove

A = [\begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}2 \\ −2 \end{matrix}]

Esercizio 1.19. Siano A e B matrici 3 × 3 tali che

AB = BA ∀B ∈ M_{3×3}

Si dimostri che deve necessariamente essere:

A = λI_{3} per qualche λ ∈ R

1. SOLUZIONI 3

Esercizio 1.20. Si risolva il sistema Ax = b nei seguenti casi

a)  A = [\begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}2 \\ −3 \\ 4 \end{matrix}]
b)  A = [\begin{matrix}4 & 33 & 2 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}3 \\ 4 \\ −4 \end{matrix}]
c)  A = [\begin{matrix}−1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}]

Esercizio 1.21. Si dica per quali valori di k ∈ R il sistema Ax = b dove

A = [\begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & k + 1 \end{matrix}] , x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] b = [\begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}]

ammette soluzione. In caso positivo si determinino esplicitamente tali soluzioni. ——————————————————————————————————————————————-

1. Soluzioni

Esercizio 1.1. Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & −1 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}3 & 0 \\ −1 & 4 \end{matrix}]

e dati λ = 5, μ = 2, calcolare AB, BA, A + B, B − A, λA + μB. Soluzione:

AB = [\begin{matrix}1 · 3 + 2 · (−1) & 1 · 0 + 2 · 4 \\ 3 · 3 + (−1) · (−1) & 3 · 0 + (−1) · 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix}1 & 8 \\ 10 & −4 \end{matrix}]

BA = [\begin{matrix}3 · 1 + 0 · 3 & 3 · 2 + 0 · (−1) \\ −1 · 1 + 4 · 3 & −1 · 2 + 4 · (−1) \end{matrix}] = [\begin{matrix}3 & 6 \\ 11 & −6 \end{matrix}]

A + B = [\begin{matrix}1 + 3 & 2 + 0 \\ 3 + (−1) & −1 + 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix}4 & 2 \\ 2 & 3 \end{matrix}]

B − A = [\begin{matrix}3 − 1 & 0 − 2 \\ −1 − 3 & 4 − (−1) \end{matrix}] = [\begin{matrix}2 & −2 \\ −4 & 5 \end{matrix}]

5A + 2B = [\begin{matrix}5 & 10 \\ 15 & −5 \end{matrix}] + [\begin{matrix}6 & 0 \\ −2 & 8 \end{matrix}] = [\begin{matrix}11 & 10 \\ 13 & 3 \end{matrix}]

□

Esercizio 1.2. Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, μ ∈ R, calcolare A + B, B − A, λA + μB, AB, BA, A^{2}:

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}3 & 2 \\ −1 & 4 \end{matrix}]  λ = \frac{1}{2}, μ = 0
A = [\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 3 & −1 & −1 \\ 2 & 0 & −1 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}3 & 0 & 2 \\ −1 & 4 & 5 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix}]  λ = 2, μ = −1

Soluzione:

Comiciamo dalla prima coppia di matrici:

A + B = [\begin{matrix}4 & 3 \\ 1 & 6 \end{matrix}]  B − A = [\begin{matrix}2 & 1 \\ −3 & 2 \end{matrix}]
λA + μB = \frac{1}{2} · A + 0 · B = \frac{1}{2}A = [1 1^{\frac{1}{2} \frac{1}{2}}]  AB = [\begin{matrix}2 & 6 \\ 4 & 12 \end{matrix}]
BA = [\begin{matrix}7 & 7 \\ 7 & 7 \end{matrix}]  A^{2} = A · A = [\begin{matrix}3 & 3 \\ 6 & 6 \end{matrix}]

Analogamente per la seconda coppia di matrici:

A + B = [\begin{matrix}4 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & −1 \end{matrix}]  B − A = [\begin{matrix}2 & 0 & 1 \\ −4 & 5 & 6 \\ −3 & 0 & 1 \end{matrix}]

λA + μB = 2A − B = [\begin{matrix}−1 & 0 & 0 \\ 7 & −6 & −7 \\ 5 & 0 & −2 \end{matrix}]  AB = [\begin{matrix}2 & 0 & 2 \\ 11 & −4 & 1 \\ 7 & 0 & 4 \end{matrix}]

BA = [\begin{matrix}7 & 0 & 1 \\ 21 & −4 & −10 \\ −1 & 0 & −1 \end{matrix}]  A^{2} = A · A = [\begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ −2 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}]
□

Esercizio 1.3. Date le seguenti matrici:

A_{1} = [\begin{matrix}−1 & 2 & 5 & −3 \\ 3 & −1 & 0 & 2 \\ 4 & 0 & 0 & −2 \end{matrix}];  A_{2} = [\begin{matrix}0 & −2 & 5 \\ 4 & −3 & 2 \end{matrix}];  A_{3} = [\begin{matrix}5 & 0 \\ −1 & 2 \\ 4 & 5 \\ 5 & −1 \end{matrix}];

A_{4} = [\begin{matrix}3 & 5 \\ −1 & 10 \\ −2 & 0 \end{matrix}];  A_{5} = [\begin{matrix}−2 & 4 & 1 \\ −4 & 4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}];  A_{6} = [\begin{matrix}−3 & 1 & −1 \\ −8 & 5 & 3 \end{matrix}];

calcolare, quando possibile, i prodotti A_{i} · A_{j} per i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Soluzione: Ricordiamo che una matrice è detta n × m se ha n righe e m colonne. Inoltre è possibile moltiplicare due matrici A e B solamente se

• A è del tipo n × m

• B è del tipo m × k

(cioè se il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B). Il risultato è una matrice C del tipo n × k.

Scriviamo solo i prodotti che è possibile effettuare:

A_{1} · A_{3} = [\begin{matrix}−2 & 32 \\ 26 & −4 \\ 10 & 2 \end{matrix}]

A_{2} · A_{1} = [\begin{matrix}14 & 2 & 0 & −14 \\ −5 & 11 & 20 & −22 \end{matrix}]  A_{2} · A_{4} = [\begin{matrix}−8 & −20 \\ 11 & −10 \end{matrix}]  A_{2} · A_{5} = [\begin{matrix}8 & −8 & 8 \\ 4 & 4 & −8 \end{matrix}]

A_{3} · A_{2} = [\begin{matrix}0 & −10 & 25 \\ 8 & −4 & −1 \\ 20 & −23 & 30 \\ −4 & −7 & 23 \end{matrix}]  A_{3} · A_{6} = [\begin{matrix}−15 & 5 & −5 \\ −13 & 9 & 7 \\ −52 & 29 & 11 \\ −7 & 0 & −8 \end{matrix}]

A_{4} · A_{2} = [\begin{matrix}20 & −21 & 25 \\ 40 & −28 & 15 \\ 0 & 4 & −10 \end{matrix}]  A_{4} · A_{6} = [\begin{matrix}−49 & 28 & 12 \\ −77 & 49 & 31 \\ 6 & −2 & 2 \end{matrix}]

A_{5} · A_{1} = [\begin{matrix}18 & −8 & −10 & 12 \\ 32 & −12 & −20 & 12 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]  A_{5} · A_{4} = [\begin{matrix}−12 & 30 \\ −24 & 20 \\ 0 & 0 \end{matrix}]  A_{5} · A_{5} = [\begin{matrix}−12 & 8 & 14 \\ −8 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

A_{6} · A_{1} = [\begin{matrix}2 & −7 & −15 & 13 \\ 35 & −21 & −40 & 28 \end{matrix}]  A_{6} · A_{4} = [\begin{matrix}−8 & −5 \\ −35 & 10 \end{matrix}]  A_{6} · A_{5} = [\begin{matrix}2 & −8 & 1 \\ −4 & −12 & 12 \end{matrix}]

□

Esercizio 1.4. Date le matrici

A = [1 2 3 4] I_{4} = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

calcolare i prodotti AI_{4} e I_{4}A^{T}. Soluzione: Notiamo che la matrice quadrata I_{4} è detta matrice identica di ordine 4. In generale le matrici identiche (dei differenti ordini) vengono indicate I.

AI_{4} = [1 2 3 4] = A

I_{4}A^{T} = I_{4} · [\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}] = A^{T}

□

Esercizio 1.5. Date le matrici

A = [−2 \frac{1}{2} 3 1] B = [1 −3 \frac{2}{3} 1]

calcolare 3A − 2B e AB^{T}. Soluzione:

3A − 2B = [−6 \frac{3}{2} 9 3] − [2 −6 \frac{4}{3} 2] = [−8 \frac{15}{2} \frac{23}{3} 1]

AB^{T} = [−2 \frac{1}{2} 3 1] · [ 1 ; −3 ; \frac{2}{3} ; 1] = [−\frac{1}{2}]

Notiamo che la matrice [−\frac{1}{2}] è detta matrice scalare.

□

Esercizio 1.6. Calcolare la potenza A^{3} della matrice

[\begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}]

Soluzione: Si tratta di eseguire due prodotti:

A^{3} = A · A · A = [\begin{matrix}3 & −4 & 3 \\ 1 & 9 & 4 \\ 2 & −1 & 3 \end{matrix}] · [\begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix}6 & −15 & 5 \\ 5 & 26 & 15 \\ 5 & −5 & 6 \end{matrix}]

□

Esercizio 1.7. Data la matrice

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ −3 & 2 \end{matrix}]

calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I). Soluzione: Sia B la matrice cercata. Per potere effettuare i prodotti AB e BA, la matrice B deve essere 2 × 2. Sia quindi

B = [\begin{matrix}x & y \\ z & w \end{matrix}]

la generica matrice 2 × 2 e calcoliamo il prodotto AB:

AB = [\begin{matrix}1 & 1 \\ −3 & 2 \end{matrix}] · [\begin{matrix}x & y \\ z & w \end{matrix}] = [\begin{matrix}x + z & y + w \\ −3x + 2z & −3y + 2w \end{matrix}]

Dalla condizione AB = I segue

\begin{cases}x + z = 1 \\ y + w = 0 \\ −3x + 2z = 0 \\ −3y + 2w = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 1 − z \\ y = −w \\ −3(1 − z) + 2z = 0 \\ −3(−w) + 2w = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = \frac{2}{5} \\ y = −\frac{1}{5} \\ z = \frac{3}{5} \\ w = \frac{1}{5} \end{cases}

Di conseguenza perché B verifichi la condizione AB = Ideve essere

B = [\frac{2}{5} −\frac{1}{5}_{\frac{3}{5} \frac{1}{5}}]

E’ immediato verificare che tale matrice B soddisfa anche la condizione BA = I, di conseguenza B è la matrice inversa di A cercata.

Metodi più efficaci per calcolare l’inversa di una matrice verranno introdotti successsivamente.

□

Esercizio 1.8. Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I).

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 3 & 3 \end{matrix}] A = [\begin{matrix}1 & −1 \\ −3 & 2 \end{matrix}]

Soluzione: Consideriamo la matrice

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 3 & 3 \end{matrix}]

Per potere effettuare i prodotti AB e BA, la matrice B deve essere 2 × 2. Sia quindi

B = [\begin{matrix}x & y \\ z & w \end{matrix}]

la generica matrice 2 × 2. Si ha

AB = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 3 & 3 \end{matrix}] · [\begin{matrix}x & y \\ z & w \end{matrix}] = [\begin{matrix}x + z & y + w \\ 3x + 3z & 3y + 3w \end{matrix}]

Dalla condizione AB = I segue

\begin{cases}x + z = 1 \\ y + w = 0 \\ 3x + 3z = 0 \\ 3y + 3w = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 1 − z \\ y = −w \\ 3(1 − z) + 3z = 0 \\ 3(−w) + 3w = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 1 − z \\ y = −w \\ 3 = 0 \\ 0 = 1 \end{cases}

La terza e la quarta equazione sono impossibili, di conseguenza tutto il sistema non ammette soluzione. Questo indica che la matrice A non ammette inversa.

Consideriamo ora la matrice

A = [\begin{matrix}1 & −1 \\ −3 & 2 \end{matrix}]

e sia

B = [\begin{matrix}x & y \\ z & w \end{matrix}]

la generica matrice 2 × 2. Si ha

AB = [\begin{matrix}1 & −1 \\ −3 & 2 \end{matrix}] · [\begin{matrix}x & y \\ z & w \end{matrix}] = [\begin{matrix}x − z & y − w \\ −3x + 2z & −3y + 2w \end{matrix}]

Dalla condizione AB = I segue

\begin{cases}x − z = 1 \\ y − w = 0 \\ −3x + 2z = 0 \\ −3y + 2w = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 1 + z \\ y = w \\ −3(1 + z) + 2z = 0 \\ −3w + 2w = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 1 + z \\ y = w \\ z = −3 \\ w = −1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = −2 \\ y = −1 \\ z = −3 \\ w = −1 \end{cases}

Di conseguenza deve essere

B = [\begin{matrix}−2 & −1 \\ −3 & −1 \end{matrix}]

E’ immediato verificare che tale matrice B soddisfa anche la condizione BA = I, di conseguenza B è la matrice inversa di A cercata. Una tale matrice B inversa di A viene normalmente indicata con A^{−1}.

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Esercizio 1.9. Date le matrici

A = [\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}]  B = [\begin{matrix}1 & −2 \\ 0 & 3 \end{matrix}]  C = [\begin{matrix}3 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}]

calcolare AB, BA, BC e CB.

Soluzione:

AB = [\begin{matrix}2 & −4 \\ 0 & 9 \end{matrix}] BA = [\begin{matrix}2 & −6 \\ 0 & 9 \end{matrix}]

BC = [\begin{matrix}3 & −6 \\ 0 & 9 \end{matrix}] CB = [\begin{matrix}3 & −6 \\ 0 & 9 \end{matrix}]

Notiamo che AB ≠ BA, mentre BC = CB. Infatti il prodotto tra matrici non è in generale commutativo; nel secondo caso si presenta questa situazione particolare in quanto C = 3I.

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Esercizio 1.10. Si consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori di M_{2×2}(R))

I = \{[\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}] | a, b, c ∈ R\}

Si verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I.

Soluzione: Siano

A = [\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}] B = [\begin{matrix}x & y \\ 0 & z \end{matrix}]

due generici elementi di I. Dobbiamo verificare che A + B e AB sono ancora elementi di I:

A + B = [\begin{matrix}a & b \\ 0 & c \end{matrix}] + [\begin{matrix}x & y \\ 0 & z \end{matrix}] = [\begin{matrix}a + x & b + y \\ 0 & c + z \end{matrix}] ∈ I

AB = [\begin{matrix}ax & ay + bz \\ 0 & cz \end{matrix}] ∈ I

Notiamo che l’unica condizione per l’appartenenza a I è che l’elemento di posizione 2, 1 si annulli.

□

Esercizio 1.11. Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A, B non nulle tali che AB = 0.

Soluzione: Possiamo prendere per esempio

A = [\begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}] B = [\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

Infatti A e B sono non nulle e AB = 0.

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Esercizio 1.12. Sia

A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

e B una matrice tale che AB = BA. Si dimostri che

B = λI_{2} + [\begin{matrix}0 & x \\ 0 & 0 \end{matrix}]

dove λ, x ∈ R.

Soluzione:

Sia

B = [\begin{matrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix}]

la generica matrice 2 × 2. Si ha

AB = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] · [\begin{matrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix}b_{11} + b_{21} & b_{12} + b_{22} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix}]

BA = [\begin{matrix}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{matrix}] · [\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix}b_{11} & b_{11} + b_{12} \\ b_{21} & b_{21} + b_{22} \end{matrix}]

Dalla condizione AB = BA segue

\begin{cases}b_{11} + b_{21} = b_{11} \\ b_{12} + b_{22} = b_{11} + b_{12} \\ b_{21} = b_{21} \\ b_{22} = b_{21} + b_{22} \end{cases} ⇒ \begin{cases}b_{21} = 0 \\ b_{22} = b_{11} \\ 0 = 0 \\ b_{21} = 0 \end{cases} ⇒ \begin{cases}b_{11} = t \\ b_{12} = s \\ b_{21} = 0 \\ b_{22} = t \end{cases} ∀s, t ∈ R

Di conseguenza B deve essere del tipo

B = [\begin{matrix}t & s \\ 0 & t \end{matrix}] = [\begin{matrix}t & 0 \\ 0 & t \end{matrix}] + [\begin{matrix}0 & s \\ 0 & 0 \end{matrix}] = t · [\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] + [\begin{matrix}0 & s \\ 0 & 0 \end{matrix}]

Abbiamo quindi ottenuto che

B = λI_{2} + [\begin{matrix}0 & x \\ 0 & 0 \end{matrix}]

dove λ, x ∈ R.

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Esercizio 1.13. Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & −2 & 3 \\ 0 & 5 & −6 \\ 2 & −1 & 4 \end{matrix}]  e  C = [\begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ −1 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix}]

determinare la matrice B tale che A + B = C.

Soluzione: E’ sufficiente osservare che se

A + B = C ⇒ −A + A + B = −A + C ⇒ B = C − A

Quindi

B = [\begin{matrix}1 − 1 & 2 + 2 & 0 − 3 \\ −1 − 0 & 5 − 5 & 2 + 6 \\ 2 − 2 & 1 + 1 & 3 − 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix}0 & 4 & −3 \\ −1 & 0 & 8 \\ 0 & 2 & −1 \end{matrix}]

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Esercizio 1.14. Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ −1 & 3 \end{matrix}] , B = [\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] , C = [\begin{matrix}−1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}] , D = [\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix}]

stabilire se D è combinazione lineare di A, B, C.

Soluzione: Si tratta di determinare se esiste soluzione dell’equazione

Ax + By + Cz = D

Esplicitando tale equazione otteniamo:

Ax + By + Cz = [\begin{matrix}x & 2x \\ −x & 3x \end{matrix}] + [\begin{matrix}2y & y \\ y & y \end{matrix}] + [\begin{matrix}−z & z \\ 2z & 3z \end{matrix}] = [\begin{matrix}x + 2y − z & 2x + y + z \\ −x + y + 2z & 3x + y + 3z \end{matrix}]

Quindi:

[\begin{matrix}x + 2y − z & 2x + y + z \\ −x + y + 2z & 3x + y + 3z \end{matrix}] = [\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 2 \end{matrix}] ⇒ \begin{cases}x + 2y − z = 0 \\ 2x + y + z = 1 \\ −x + y + 2z = −1 \\ 3x + y + 3z = 2 \end{cases}

Dobbiamo quindi risolvere il sistema lineare non omogeneo di quattro equazioni i tre incognite. Procedendo per sostituzione otteniamo

\begin{cases}x = −2y + z \\ −3y + 3z = 1 \\ 3y + z = −1 \\ −6y + 6z = −2 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = −2y + z \\ −3y + 3z = 1 \\ z = −3y − 1 \\ −3y + 3z = −1 \end{cases}

Anche senza procedere ulteriormente vediamo che la seconda e quarta equazione sono in contraddizione, quindi il sistema non ammette soluzione e D non è combinazione lineare di A, B e C.

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Esercizio 1.15. Date le matrici

A = [\begin{matrix}1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix}] , B = [\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & 2 \end{matrix}] , C = [\begin{matrix}3 & 6 \\ 1 & 3 \end{matrix}]

stabilire se esistono valori di k per cui C è combinazione lineare di A, B. In caso positivo esprimere tale combinazione lineare.

Soluzione: Analogamente all’esercizio precedente si tratta di determinare se esiste soluzione dell’equazione

Ax + By = C

Esplicitando tale equazione otteniamo:

Ax + By = [\begin{matrix}x & kx \\ 0 & x \end{matrix}] + [\begin{matrix}2y & 3y \\ y & 2y \end{matrix}] = [\begin{matrix}x + 2y & kx + 3y \\ y & x + 2y \end{matrix}]

Quindi:

[\begin{matrix}x + 2y & kx + 3y \\ y & x + 2y \end{matrix}] = [\begin{matrix}3 & 6 \\ 1 & 3 \end{matrix}] ⇒ \begin{cases}x + 2y = 3 \\ kx + 3y = 6 \\ y = 1 \\ x + 2y = 3 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x + 2 = 3 \\ kx + 3 = 6 \\ y = 1 \\ x + 2 = 3 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 1 \\ kx = 3 \\ y = 1 \\ x = 1 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x = 1 \\ k = 3 \\ y = 1 \\ x = 1 \end{cases}

Quindi • Se k = 3 il sistema ammette la sola soluzione x = y = 1 e A + B = C.

• Se k ≠ 3 il sistema non ammette soluzione e C non è combinazione di A e B.

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Esercizio 1.16. Si considerino le seguenti n-uple di numeri reali, con n = 2, 3 o 4:

u_{1} = (1, 0)  u_{2} = (\frac{1}{2}, −2)
u_{3} = (−3, \frac{1}{4}, −5)  u_{4} = (0, −\frac{1}{2}, −2)
u_{5} = (−1, 1, 2, −2)  u_{6} = (0, 0, −\frac{1}{3}, −3)

Si calcoli quando possibile

u_{i} + u_{j},  u_{i} · u_{j}^{T} ,  λ · u_{i},  con λ = 0, 2, −2,  i, j = 1, … 6

Soluzione:

• Cominciamo a calcolare le somme. Notiamo innazittutto che si possono sommare solo n-uple dello stesso tipo:

u_{1} + u_{2} = (1 + \frac{1}{2}, 0 + (−2)) = (\frac{3}{2}, −2) = u_{2} + u_{1}

u_{3} + u_{4} = (−3, −\frac{1}{4} − 7) = u_{4} + u_{3}

u_{5} + u_{6} = (−1, 1, \frac{5}{3}, −5) = u_{6} + u_{5}

Notiamo che la somma di due n-uple è ancora una n-upla, e che la somma gode della proprietà commutativa.

• Calcoliamo ora i prodotti. Notiamo che si può solo moltiplicare una n-upla per la trasposta di una n-upla dello stesso tipo:

u_{1} · u_{2}^{T} = (1, 0) · (−2^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} = u_{2} · u_{1}^{T}

u_{3} · u_{4}^{T} = (−3, \frac{1}{4} − 5) · (\begin{matrix}0 \\ −\frac{1}{2} \\ −2 \end{matrix}) = \frac{79}{8} = u_{4} · u_{3}^{T}

u_{5} · u_{6}^{T} = (−1, 1, 2, −2) · (\begin{matrix}0 \\ 0 \\ −\frac{1}{3} \\ −3 \end{matrix}) = \frac{16}{3} = u_{6} · u_{5}^{T}

Notiamo che il prodotto tra una n-upla e la trasposta di una n-upla da come risultato un numero (uno scalare).

• Calcoliamo infine i prodotti per scalare.

0u_{1} = 0u_{2} = (0, 0),  0u_{3} = 0u_{4} = (0, 0, 0),  0u_{5} = 0u_{6} = (0, 0, 0, 0),
2u_{1} = (2, 0),  2u_{2} = (1, −4),  2u_{3} = (−6, \frac{1}{2}, −10) ,
2u_{4} = (0, −1, −4) ,  2u_{5} = (−2, 2, 4, −4) ,  2u_{6} = (0, 0, −\frac{2}{3}, −6)
− 2u_{1} = (−2, 0),  −2u_{2} = (−1, 4),  −2u_{3} = (6, −\frac{1}{2}, 10) ,
− 2u_{4} = (0, 1, 4) ,  −2u_{5} = (2, −2, −4, 4) ,  −2u_{6} = (0, 0, \frac{2}{3}, 6)

Notiamo che il prodotto tra uno scalare e una n-upla si può sempre calcolare e da come risultato una n-upla.

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Esercizio 1.17. Dimostrare (utilizzando le matrici) che un numero complesso coincidente con il proprio coniugato è necessariamente reale.

Soluzione: Sia Z = aI_{2} + bJ un generico complesso, dove

I_{2} = [\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] , J = [\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}] ,

Sappiamo che il suo coniugato è Z̄ = aI_{2} − bJ. Notiamo che

Z = [\begin{matrix}a & b \\ −b & a \end{matrix}] ,  Z̄ = [\begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix}] ,

Di conseguenza dall’uguaglianza Z = Z̄ segue

\begin{cases}a = a \\ −b = b \\ b = −b \\ a = a \end{cases} ⇒ 2b = 0 ⇒ b = 0

Quindi Z = aI_{2} ed è un numero reale.

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Esercizio 1.18. Si risolva il sistema Ax = b dove

A = [\begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}2 \\ −2 \end{matrix}]

Soluzione:

Ax = [\begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 4 \end{matrix}] · [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix}x_{1} + 3x_{2} \\ 2x_{1} + 4x_{2} \end{matrix}]

Quindi Ax = b implica

\begin{cases}x_{1} + 3x_{2} = 2 \\ 2x_{1} + 4x_{2} = −2 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x_{1} = 2 − 3x_{2} \\ 4 − 6x_{2} + 4x_{2} = −2 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x_{1} = −7 \\ x_{2} = 3 \end{cases}

La matrice A è detta matrice dei coefficienti e la matrice b matrice o colonna dei termini noti del sistema

\begin{cases}x_{1} + 3x_{2} = 2 \\ 2x_{1} + 4x_{2} = −2 \end{cases}

Si dice anche più semplicemente che A e b (oppure A|b) sono le matrici associate al sistema.

Notiamo che si può passare da A al sistema o viceversa semplicemente aggiungendo o togliendo le incognite.

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Esercizio 1.19. Siano A e B matrici 3 × 3 tali che

AB = BA ∀B ∈ M_{3×3}

Si dimostri che deve necessariamente essere:

A = λI_{3} per qualche λ ∈ R

Soluzione: Sia

A = [\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}]

la generica matrice 3 × 3. Poichè AB = BA per ogni matrice B, in particolare deve valere per

B = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

Di conseguenza:

AB = [\begin{matrix}a_{11} & 0 & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] = BA ⇒ a_{21} = a_{31} = a_{12} = a_{13} = 0.

La nostra matrice A deve quindi essere del tipo

A = [\begin{matrix}a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{32} & a_{33} \end{matrix}]

12 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-UPLE

Analogamente la relazione AB = BA deve valere in particolare per

B = [\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Di conseguenza:

AB = [\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix}] = [\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & a_{33} \end{matrix}] = BA ⇒ a_{32} = a_{23} = 0.

La nostra matrice A deve quindi essere del tipo

A = [\begin{matrix}a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix}]

Ripetiamo lo stesso ragionamento con

B = [\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

ottenendo

AB = [\begin{matrix}a_{11} & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix}a_{11} & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] = BA ⇒ a_{11} = a_{22}.

La nostra matrice A deve quindi essere del tipo

A = [\begin{matrix}a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix}]

Utilizzando infine

B = [\begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

otteniamo

AB = [\begin{matrix}0 & a_{11} & a_{11} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix}0 & a_{11} & a_{33} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] = BA ⇒ a_{11} = a_{33}.

La nostra matrice A deve quindi essere del tipo

A = [\begin{matrix}a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} \end{matrix}] = a_{11} · [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] = λI_{3} per qualche λ ∈ R

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Esercizio 1.20. Si risolva il sistema Ax = b nei seguenti casi

a)  A = [\begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}2 \\ −3 \\ 4 \end{matrix}]
b)  A = [\begin{matrix}4 & 33 & 2 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}3 \\ 4 \\ −4 \end{matrix}]
c)  A = [\begin{matrix}−1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}3 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}]

Soluzione: a) Calcoliamo il prodotto

Ax = [\begin{matrix}1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}] · [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix}x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3} \\ 3x_{2} + 6x_{3} \\ 2x_{3} \end{matrix}]

Quindi la condizione Ax = b implica

\begin{cases}x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3} = 2 \\ 3x_{2} + 6x_{3} = −3 \\ 2x_{3} = 4 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3} = 2 \\ 3x_{2} = −6 · 2 − 3 \\ x_{3} = 2 \end{cases} ⇒

\begin{cases}x_{1} = −3 · (−5) − 2 · 2 + 2 = 13 \\ x_{2} = −5 \\ x_{3} = 2 \end{cases} ⇒ \begin{cases}x_{1} = 13 \\ x_{2} = −5 \\ x_{3} = 2 \end{cases}

b) Scriviamo direttamente il sistema associato a A e b aggiungendo le incognite:

\begin{cases}4x_{1} + 33x_{2} + 2x_{3} = 3 \\ x_{2} + 6x_{3} = 4 \\ 0 = −4 \end{cases}

Notiamo subito che l’ultima equazione è impossibile, quindi il sistema non ammette soluzione.

c) Scriviamo direttamente il sistema associato a A e b aggiungendo le incognite:

\begin{cases}−x_{1} + 3x_{2} + x_{3} = 3 \\ x_{2} + x_{3} = 4 \\ 0 = 0 \end{cases}

Notiamo che il sistema ha tre incognite, ma solamente due equazioni (significative). Abbiamo quindi una variabile libera. Partiamo dall’ultima equazione (significativa) aggiungendo un parametro. Poniamo per esempio x_{3} = t (Potevamo equivalentemente porre x_{2} = t):

\begin{cases}−x_{1} + 3x_{2} + x_{3} = 3 \\ x_{2} = −t + 4 \\ x_{3} = t \end{cases} ⇒ \begin{cases}x_{1} = 3(−t + 4) + t − 3 = −2t + 9 \\ x_{2} = −t + 4 \\ x_{3} = t \end{cases}

⇒ \begin{cases}x_{1} = −2t + 9 \\ x_{2} = −t + 4 \\ x_{3} = t \end{cases} ∀t ∈ R

Notiamo che in questo caso il sistema ammette infinite soluzione: ogni valore assegnato a t permette di trovare una delle infinite soluzioni.

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Esercizio 1.21. Si dica per quali valori di k ∈ R il sistema Ax = b dove

A = [\begin{matrix}1 & −1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & k + 1 \end{matrix}] ,  x = [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}]  b = [\begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix}]

ammette soluzione. In caso positivo si determinino esplicitamente tali soluzioni.

Soluzione: Il sistema associato a A e b è

\begin{cases}x_{1} − x_{2} + 2x_{3} = 0 \\ x_{2} + x_{3} = 1 \\ (k + 1)x_{3} = −1 \end{cases}

Cercando le soluzioni dell’ultima equazione incontriamo subito una difficoltà: dovendo dividere per (k + 1) dobbiamo imporre la condizione k + 1 ≠ 0. Dobbiamo quindi distinguere due casi:

14 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-UPLE

• Se k ≠ −1, otteniamo le soluzioni

\begin{cases}x_{1} − x_{2} + 2x_{3} = 0 \\ x_{2} + x_{3} = 1 \\ x_{3} = −\frac{1}{k+1} \end{cases} ⇒ \begin{cases}x_{1} − x_{2} + 2x_{3} = 0 \\ x_{2} = 1 + \frac{1}{k+1} = \frac{k+2}{k+1} \\ x_{3} = −\frac{1}{k+1} \end{cases} ⇒ \begin{cases}x_{1} = \frac{k+2}{k+1} + \frac{2}{k+1} = \frac{k+4}{k+1} \\ x_{2} = \frac{k+2}{k+1} \\ x_{3} = −\frac{1}{k+1} \end{cases}

Quindi per ogni k ≠ −1 il sistema ammette la sola soluzione

\begin{cases}x_{1} = \frac{k+4}{k+1} \\ x_{2} = \frac{k+2}{k+1} \\ x_{3} = −\frac{1}{k+1} \end{cases}

• Se k = −1, sostituendo tale valore nel sistema otteniamo

\begin{cases}x_{1} − x_{2} + 2x_{3} = 0 \\ x_{2} + x_{3} = 1 \\ 0 = −1 \end{cases}

Quindi in questo caso il sistema è impossibile.

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