TRENTO, A.A. 2005/06 TEORIA DI GALOIS FOGLIO DI ESERCIZI # 4

Esercizio 4.1. Sia F un campo, f ∈ F [x] un polinomio monico di grado n, e E/F il campo di spezzamento di f su F.

Si mostri che |E : F | ≤ n! (più facile), e poi che in realtà |E : F | divide n!

(Suggerimento: Per dimostrare la seconda parte, si proceda per induzione su n. Si consideri prima il caso in cui f è irriducibile in F [x], dunque se α è una radice di f in E si ha |E : F | = … Si consideri quindi il caso in cui f è riducibile, procedendo per l’appunto per induzione.)

Esercizio 4.2. Sia f = x^{4} − 3 ∈ Q[x]. Sia E il campo di spezzamento di f su Q. Si costruisca la corrispondenza di Galois fra E/Q e Gal(E/Q).

Si faccia vedere che E/Q è un’estensione radicale.

Nota. L’esercizio successivo è abbastanza complicato, ma provate comunque a fare quello che potete, cercando di calcolare almeno alcuni campi intermedi e sottogruppi.

Esercizio 4.3. Sia f = x^{5} − 2 ∈ Q[x]. Sia E il campo di spezzamento di f su Q. Si costruisca la corrispondenza di Galois fra E/Q e Gal(E/Q).