TRENTO, A.A. 2005/06 TEORIA DI GALOIS FOGLIO DI ESERCIZI # 2

Attenzione! Alcuni esercizi, o alcune parti di essi, anticipano cose che vedremo prossimamente. Queste parti vanno fatte una volta che abbiamo visto i concetti relativi.

Esercizio 2.1. Sia E/F una estensione, e siano α_{1}, …, α_{n} ∈ E elementi algebrici su F. Diciamo che il grado di α_{i} su F (ovvero il grado del polinomio minimo di α_{i} su F) sia n_{i}.

Abbiamo definito

F (α_{1}, …, α_{n}) = F (α_{1})(α_{2}) …, (α_{n}).

A voler essere più precisi, questa sarebbe una definizione ricorsiva (“per induzione”), data da

F (α_{1}, …, α_{n}) = F (α_{1}, … α_{n−1})(α_{n}).

Si mostri che gli elementi di F (α_{1}, …, α_{n}) si scrivono come polinomi negli α_{1}, …, α_{n} a coefficienti in F, e che il grado di α_{i} in queste espressioni si può prendere minore di n_{i}.

Esercizio 2.2. Si calcolino i gruppi di Galois delle seguenti estensioni: • Q(\sqrt{2})/Q,

• C/R,

• Q(\sqrt[3]{2})/Q,

• Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})/Q,

• Q(\sqrt[3]{2}, ω\sqrt[3]{2})/Q, ove ω è una radice terza primitiva dell’unità.

Esercizio 2.3. Si calcolino i polinomi minimi su Q di \sqrt{2} + \sqrt{3} e di \sqrt[3]{2} + ω, ove ω è una radice terza primitiva dell’unità.

Esercizio 2.4. Sia E = Q(\sqrt{3}, \sqrt{5}) il campo di spezzamento su Q del polinomio f = (x^{2} − 3)(x^{2} − 5).

• Si mostri che |E : Q| = 4.

• Si trovi G = Gal(E/Q).

• Si trovi il polinomio minimo g di α = \sqrt{3} − 2\sqrt{5} su Q.

• Si mostri che E = Q(α).

• Si trovino tutti i sottogruppi di G, e tutti i campi intermedi fra Q e E.

• Si trovino i “primi” di tutti gli elementi appena trovati.