TRENTO, A.A. 2005/06 TEORIA DI GALOIS FOGLIO DI ESERCIZI # 1

Esercizio 1.1. Sia E/F una estensione di campi, α ∈ E un elemento, e 0 ≠ f ∈ F [x] un polinomio monico (dunque non nullo) tale che f(α) = 0.

Si mostri che sono equivalenti le due affermazioni:

1. f è il polinomio minimo di α su F, e

2. f è irriducibile in F [x].

Esercizio 1.2. Siano K ⊆ F ⊆ E campi, e α ∈ E. Si mostri che se α è algebrico su K, allora lo è anche su F, e il polinomio minimo di α su F è un divisore del polinomio minimo di α su K, e un multiplo di x − α. Notate che x − α è il polinomio minimo di α su E.

Si mostri con un esempio che α può essere algebrico su F senza esserlo su K.

Esercizio 1.3. Se una estensione E/F ha grado finito, allora ogni elemento di E è algebrico su F, di grado un divisore di |E : F |.

(Suggerimento: Se |E : F | = n, e α ∈ E,

1, α, α^{2}, …, α^{n}

sono n + 1 elementi di uno spazio vettoriale di dimensione n, dunque … Per la seconda parte, usare la formula dei gradi qui sotto.)

Esercizio 1.4. Dimostrare la formula dei gradi, ovvero che se K ⊆ F ⊆ E sono campi, e il grado |E : K| è finito, allora

|E : K| = |E : F | · |F : K|.

(Suggerimento: Si prendano una base u_{1}, … u_{n} di E su F, e una base v_{1}, …, v_{m} di F su K. Si mostri che gli nm elementi u_{i} · v_{j} sono una base di E su K.)

Esercizio 1.5. Si consideri l’insieme

A = { α ∈ C : α è algebrico su Q } .

Si mostri che A è un sottocampo di C, e che il grado |A : Q| non è finito. (Suggerimento: Si considerino gli elementi α_{n} = \sqrt[n]{2}. Qual è il grado di α_{n} su Q?) (Suggerimento: Si può usare il fatto che la somma e il prodotto di due numeri algebrici sono algebrici, e lo stesso vale per l’inverso di un numero algebrico non nullo.)

Esercizio 1.6.

• Se φ : A → B è un isomorfismo di anelli, si mostri che la funzione inversa φ^{−1} : B → A è ancora un isomorfismo.

• Se C è un terzo anello, e ψ : B → C è un isomorfismo, si mostri che allora la composizione ψ ∘ φ è un isomorfismo.

Esercizio 1.7. Sia f = a_{n}x_{n} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} ∈ Z[x], con a_{n}, a_{0} ≠ 0.

• Sia α ∈ Q una radice di f, e si scriva α = \frac{u}{v}, con u, v interi coprimi. Si mostri che u divide a_{0}, e v divide a_{n}.

• Si assuma ora f monico, cioè a_{n} = 1. Si mostri che se α ∈ Q è una radice di f, allora α ∈ Z, e α divide a_{0}.