La geometria iperbolica è una geometria piana nella quale
 
  • la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°
  • per ogni punto esterno ad una retta passano infinite rette parallele alla retta stessa.
  • non esistono rettangoli.

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    Di questa geometria sono possibili più modelli, quello che descriveremo ora è dovuto
    a F. Klein.

    Il luogo di questa geometria (detto anche l'universo) è dato dai punti di un disco nel piano di raggio
    r (abbastanza grande rispetto all'osservatore) detto Disco Iperbolico.

    Dati due punti P e Q nel disco si definisce la distanza di P da Q, (d(P,Q)) nel modo seguente
    (si veda il disegno):

    si considera il cerchio passante per P e Q che interseca il bordo del disco perpendicolarmente
    nei punti P' e Q'.

    Allora d(P,Q) = 1/2 | log  [(PP'/QP') (QQ'/PQ')]  | .
     

    Proposizione . Con questa distanza il cammino più breve per andare da un punto P ad  un altro Q
    del disco iperbolico è quello dato dal cerchio passante per i due punti e ortogonale al bordo del disco.
    In altre parole per ogni punto R del disco vale

    d(P,R) +d(R,Q) > o =  d(P,Q)
    con l'uguale se R è sul cerchio sopra descritto.
     

    Una retta in geometria iperbolica è quindi data da un cerchio ortogonale al bordo del disco.

    Si noti che se tengo fisso un punto P e mi muovo con Q verso il bordo del disco la distanza d(P,Q)
    tende ad infinito, ovvero non riesco a raggiungere il bordo, o alternativamente le rette sono infinite nelle due direzioni.
     
     
     

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